a) Ce qu'il faut retenir de la définition d'un espace vectoriel $\rm (ev)$. La définition est longue et relativement compliquée. Il faut retenir qu'il y a deux opérations :
- L'addition : si on ajoute deux éléments de $\rm E$ - qu'on appelle vecteurs - on obtient un nouveau vecteur
- La multiplication externe : si on multiplie un vecteur par un scalaire (c'est-à-dire un réel ou un complexe) on obtient un vecteur.
"externe", car on multiplie un vecteur par un objet extérieur à l'espace vectoriel à savoir un scalaire.
Retenir qu'il y a un vecteur particulier : le vecteur nul noté $\rm 0_E$ qui vérifie $x+0_{\rm E}=x$ pour tout vecteur $x$ de $\rm E$.
b) Connaître les ev de références :
- $\rm {\Bbb R}^n$ (ou $\rm {\Bbb C}^n$). Un vecteur est $\rm n$-uplet $(x_1,\ldots,\rm x_n)$. Le vecteur nul est $(0,\ldots,0)$.
- $({\Bbb K}^{{\Bbb N}},+,.)$ l'ensemble des suites à valeurs dans ${\Bbb K}$. Le vecteur nul = la suite nulle notée $\rm (0)_{n \ge 0}$.
- $\rm ({\mathcal F}(A,{\Bbb R}),+,.) = ({\Bbb R}^{A},+,.)$ l'ensemble des fonctions de $\rm A$ dans ${\Bbb R}$ où $\rm A$ désigne une partie de ${\Bbb R}$. Le vecteur nul est la fonction nulle.
- $\rm (M_{n,p}({\Bbb K}),+,.)$ l'ensemble des matrices de taille $\rm n \times p$ à coefficients dans ${\Bbb K}$
Le vecteur nul est la matrice nulle notée $(0)$. - $\rm {\Bbb K}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes. Le vecteur nul est le polynôme nul noté $\rm 0_{{\Bbb K}[X]}$.
