Séries entières

Définition : Soit $(a_n)_{n\ge 0}$ une série entière de la variable réelle $x$ est une série du type $\displaystyle{\sum_{n\ge 0}a_n x^n}$.

Remarque : une série entière est une généralisation de la notion de polynôme. Un polynôme est une somme finie $\displaystyle{\sum_{n = 0}^{p}a_n x^n}$.

Définition et théorème :

On admet l’existence d’un réel $R$ ou éventuellement $R=+\infty$ tel que pour tout réel $x$ tel que $|x|<R$, la série entière $\displaystyle{\sum_{n\ge 0}a_n x^n}$ converge et pour $x$ tel que $|x|>R$ la série entière $\displaystyle{\sum_{n\ge 0}a_n x^n}$.  diverge.

$R$ s’appelle le rayon de convergence et l’intervalle $]-R,R[$ s’appelle l’intervalle de convergence.

Exemple : la série géométrique $\displaystyle{\sum_{n \ge 0}x^n}$ est une série entière de rayon $1$.

De plus, pour tout $x$ tel que $|x|<1$, $\displaystyle{\sum_{n = 0}^{+\infty}x^n = \frac{1}{1-x}}$.

Théorème : le critère de D’Alembert. On considère la série entière $\displaystyle{\sum_{n\ge 0}a_n x^n}$ avec $(a_n)_{n\ge 0}$ non nulle (à partir d’un certain rang).

Supposons que $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \ell}$ avec $\ell \in {\Bbb R} \cup \{+\infty\}$.

• Si $\ell \in {\Bbb R}^{*}_{+}$ alors $\displaystyle{R = \frac{1}{\ell}}$.
  
• Si $\ell = + \infty$ alors $\displaystyle{R = 0}$ c’est-à-dire que la série en converge qu’en $x=0$.
  
• Si $\ell = 0$ $\displaystyle{R = +\infty}$ c’est-à-dire que la série en converge sur tout ${\Bbb R}$.
  

Définition : soit $f$ une fonction définie sur un voisinage $V$ de $0$. On dit qu’une fonction $f$ est développable en série entière (DSE) en $0$ s’il existe une série entière $\displaystyle{\sum_{n \ge 0}x^n}$ de rayon $R>0$ tel que pour tout $x \in V \cap ]-R,R[$, $\displaystyle{f(x) = sum_{n = 0}^{+\infty} x^n}$.

Exemple de référence :

a) La fonction $x \mapsto \frac{1}{1-x}$ est DSE au voisinage de $0$ car $\forall x \in ]-1,1[$, $\displaystyle{\frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{+\infty}x^n}$.

b) La fonction $x \mapsto \ln(1+x)$ est DSE au voisinage de $0$ car $\forall x \in ]-1,1[$, $\displaystyle{\ln(1+x) = \sum_{n = 1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}}$.

c) La fonction $x \mapsto e^x$ est   DSE au voisinage de $0$ car $\forall x \in {\Bbb R}$, $\displaystyle{e^{x} = \sum_{n = 0}^{+\infty}\frac{x^n}{n !}}$.