On considère des fonctions $f$ définies sur $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb C$.
Définition : Soit $f\in \rm L^1(\mathbb R)$.
La transformée de Fourier de $f$ est la fonction : $\hat{f}:\mathbb R \to \mathbb C$ définie par : $\hat{f}(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\rm e^{-i\omega \mathcal x}d\mathcal x$.
Proposition : Soit $f\in \rm L^1(\mathbb R)$. Alors :
- $\|\hat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_1$
- $\hat{f}$ est uniformément continue.
- $\displaystyle \lim_{\omega\to +\infty}\hat{f}(\omega)=0$ (lemme de Riemann-Lebesgue).
Remarque : $\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|$.
Notations :
$\check{f}(x)=f(-x)$
$\mathrm e_ {x_0}(x)=\mathrm e^{-\mathrm ixx_0}$
$\tau_{x_0}f(x)=f(x-x_0)$
$\mathrm D_{\lambda}u(x)=u(\lambda x)$
Propriétés : Soient $f,g\in \rm L^1(\mathbb R)$, $\alpha,\beta\in\mathbb C$, $\lambda\in \mathbb R^*$. Soit $x_0\in\mathbb R$.
$\widehat{\alpha f +\beta g}=\alpha \hat{f}+\beta \hat{g}$
$\widehat{\tau_{x_0}f}=e_{x_0}\hat{f}$
$\widehat{e_{x_0}f}=\tau_{-x_0}\hat{f}$
$\check{\hat{f}}=\hat{\check{f}}$
$\widehat{\mathrm D_{\lambda} f} = \lambda \mathrm D_{\lambda^{-1}} \hat{f}$
$\displaystyle \int \hat{f}g=\int f\hat{g}$.
Propriété : La transformée de Fourier d’une fonction paire est une fonction paire.
La transformée de Fourier d’une fonction impaire est une fonction impaire.
Théorème : Soit $f\in \rm L^1(\mathbb R)$ et $\hat{f}\in \rm L^1(\mathbb R)$. Alors :
$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{\mathrm ix\omega}\hat{f}(\omega) \mathrm d\omega$ pour tout $x\in\mathbb R$ où $f$ est continue.
Proposition (théorème de Plancherel) : Si $f\in \rm L^1\cap L^2$, alors $\hat{f}\in \rm L^2\cap C^0$ et $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2\rm dt$ $=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f}(\omega)|^2\mathrm d\omega$.
