Transformée de Laplace

Définition :

La transformée de Laplace de la fonction $f$ est la fonction $\mathrm{F=\mathcal{L}}f$ de la variable complexe $\mathrm{p}$ définie par :

$\mathrm{F(p)=\mathcal{L}}f\mathrm{(p) = \int_0^{+\infty}}f\mathrm{(t)e^{-pt}dt}$

Remarque :

Pour que $\mathrm{F}$ existe, il faut que l'intégrale généralisée $\mathrm{\int_0^{+\infty}}f\mathrm{(t)e^{-pt}dt}$ converge.

Notation :

Parfois on note la transformée de Laplace $\mathcal{L}[f(t)]$.

Transformée de Laplace des fonctions usuelles :

• Échelon unité : $\mathrm{t \mapsto U(t)}$ définie par $\mathrm{U(t) = 0}$ si $\mathrm{t<0}$ et $\mathrm{U(t)=1}$ si $\mathrm{\mathrm{t \geq 0}}$. Alors $\mathrm{\mathcal{L}[U(t)] = \frac{1}{p}}$
• Rampe : $\mathrm{r:t \mapsto tU(t)}$ c'est-à-dire $\mathrm{r(t)=0}$ si $\mathrm{t<0}$ et $\mathrm{r(t)=t}$ si $\mathrm{t \geq 0}$. Alors $\mathrm{\mathcal{L}[tU(t)] = \frac{1}{p^2}}$
• Monôme : $\mathrm{\mathcal{L}[t^nU(t)] = \frac{n!}{p^{n+1}}}$. 
• Exponentielle  : Soit $\mathrm{a}$ un réel. pour tout complexe $\mathrm{p}$ tel que $\mathrm{\Re(p)>a}$, on a $\mathrm{\mathcal{L}[e^{at}U(t)] = \frac{1}{p-a}}$ 
• Cosinus : Soit $\omega$ un réel. $\mathrm{\mathcal{L}[\cos(\omega t])U(t) = \frac{p}{p^2+\omega^2}}$
• Sinus : Soit $\omega$ un réel. $\mathrm{\mathcal{L}[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t])U(t) = \frac{1}{p^2+\omega^2}}$