Diagonalisation

On note $\mathcal{M}_{n}({\Bbb R})$ l'ensemble des matrice carrée d'ordre $n$ ($n$ est un entier $\ge 1$) à coefficients réels.

On note $\mathcal{M}_{n,1}({\Bbb R})$ l'ensemble des matrice colonnes $n$ lignes et $1$ colonne à coefficients réels à coefficients réels.

Dans la suite, $\mathrm A$ désigne une matrice de $\mathcal{M}_{n}({\Bbb R})$ et $\mathrm X$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}({\Bbb R})$.

1) Valeur et vecteur propre d'une matrice $\mathcal{M}_{n}({\Bbb R})$

Définition :

Soit $\lambda$ un réel. On dit que $\lambda$ est une valeur propre de la matrice s'il existe une matrice colonne $\mathrm X$ de $\mathcal{M}_{n,1}({\Bbb R})$ NON NULLE telle que $\rm AX = \lambda X$.

L'ensemble des valeurs propres de la matrice $\mathrm A$ s'appelle le spectre de $\mathrm A$ et se note $\rm Sp(A)$.

Dans ce cas, on dit que $\mathrm X$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.

Remarque 1 :

Chercher les valeurs propres de la matrice $\mathrm A$ cela revient à déterminer tous les réels $\lambda$ pour lesquels le système linéaire $\rm AX = \lambda X$ d'inconnue $\mathrm X \in \mathcal{M}_{n,1}({\Bbb R})$ admet au moins une solution non nulle.

Remarque 2 :

On a $\rm AX = \lambda X \iff AX - \lambda X = 0_{\mathcal{M}_{n,1}({\Bbb R})}$ $\iff (\mathrm A-\lambda \mathrm I_n)\mathrm X= 0_{\mathcal{M}_{n,1}({\Bbb R})}$ $\iff \mathrm X \in \ker(\mathrm A-\lambda \mathrm I_n)$.

Définition :

Le sous-espace vectoriel $\ker(\mathrm A-\lambda \mathrm I_n)$ s'appelle le sous-espace propre de la valeur propre $\lambda$. On le note $\rm E_A(\lambda)$.

2) Exemple

Déterminons les valeurs propres de la matrice $\mathrm A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ -8 & -3 & -4 \\ 6 & 3 & 4 \end{array}\right)$.

On effectue la méthode du pivot de Gauss sur la matrice $\mathrm A- \lambda I_3 = \left( \begin{array}{ccc} 3-\lambda & 1 & 1 \\ -8 & -3-\lambda & -4 \\ 6 & 3 & 4-\lambda \end{array}\right)$.

On échange les lignes $1$ et 3, $\rm L_1 \leftrightarrow L_3$ :

$$\left( \begin{array}{ccc} 6 & 3 & 4-\lambda \\ -8 & -3-\lambda & -4 \\ 3-\lambda & 1 & 1 \end{array}\right).$$

On effectue $\rm L_2 \leftarrow 3L_2+4L_1$ et $\rm L_3 \leftarrow 6L_3-(3-\lambda)L_1$. On obtient après factorisation :

$$\left( \begin{array}{ccc} 6 & 3 & 4-\lambda \\ 0 & 3(1-\lambda) & 4(1-\lambda) \\ 0 & 3(\lambda-1) & (1-\lambda)(\lambda-6) \end{array}\right).$$

On effectue $\rm L_3 \leftarrow L_3+L_2$ :

$$\left(\begin{array}{ccc} 6 & 3 & 4-\lambda \\ 0 & 3(1-\lambda) & 4(1-\lambda) \\ 0 & 0 & (1-\lambda)(\lambda-2) \end{array}\right).$$

On revient au système $(\rm A-\lambda I_3)X= 0_{\mathcal{M}_{3,1}({\Bbb R})}$ en posant $\mathrm X = \left(\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array}\right)$.

On obtient le système triangulaire :

$$\left\{\begin{array}{lll} 6x + 3y + (4-\lambda)z = 0\\ 3(1-\lambda)y + 4(1-\lambda)z = 0\\ (1-\lambda)(\lambda-2)z = 0 \end{array}\right.$$

Si $\lambda \in {\Bbb R}\backslash \{1,2\}$ alors $z=0$ puis $y=0$ puis $x=0$ autrement dit la seule solution du système $\rm AX=\lambda X$ est la solution nulle donc $\lambda$ n'est pas valeur propre.

Si $\lambda=1$ alors le système se réduit à une seule équation : $6x+3y+3z=0$ soit après simplification par $3$ : $2x+y+z=0$.

On en déduit que le système $\rm AX=X$ admet des solutions non nulles donc $1$ est une valeur propre de $\mathrm A$.

De plus le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$ est le plan vectoriel d'équation $2x+y+z=0$.

On peut chercher une base de ce plan. Comme $z=-2x-y$, on a $(x,y,z) = (x,y,-2x-y) = x(1,0,-2) + y(0,1,-1)$. On a donc $\rm E_A(1) = {\rm vect}((1,0,-2);(0,1,-1))$.

Si $\lambda=2$ alors le système devient :

$\scriptstyle\left\{\begin{array}{lll} 6x + 3y + 2z = 0\\ -3y -4z = 0\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{lll} x = \frac{1}{3}z\\ y = -\frac{4}{3}z\\ z = z \end{array}\right.$

Comme le système $\rm AX=2X$ admet des solutions non nulles, $2$ est une valeur propre et de plus $\rm E_A(2)$ est la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(1,-4,3)$.

Le spectre de $\mathrm A$ est donc $\rm Sp(A) = \{1,2\}$.

3) Polynôme caractéristique

On a les équivalences suivantes :

$\lambda$ est une valeur propre de la matrice $\mathrm A$ si et seulement si le noyau $\ker(\mathrm A-\lambda \mathrm I_n)$ est non nul si et seulement si la matrice $\mathrm A-\lambda \mathrm I_n$ n'est pas inversible si et seulement si $\det(\mathrm A-\lambda \mathrm I_n) \neq 0$. Cela motive la définition suivante :

Définition :

Le polynôme caractéristique de la matrice $\mathrm A$ est la fonction polynomiale $t \mapsto \det(t\mathrm I_n - \mathrm A)$. On le note $\rm P_A$ ou $\rm \chi_A$ (lettre grecque khi). On a donc par définition $\forall t \in {\Bbb R}, \mathrm{P_A}(t) = \det(t\mathrm I_n - \mathrm A)$.

Remarque :

Parfois le polynôme caractéristique est défini comme étant égal : $\det(\mathrm A-t\mathrm I_n)$.

On a $\det(\mathrm A-t\mathrm I_n) = (-1)^n\det(t\mathrm I_n-\mathrm A)$.

Propriété :

Le polynôme caractéristique de la matrice $\mathrm A$ (qui est une matrice d'ordre $n$) est un polynôme de degré $n$ de coefficient dominant $1$ (on parle alors de polynôme unitaire).

Remarque :

Attention, si le polynôme caractéristique est défini comme étant égal à $\det(\mathrm A-t \mathrm I_n)$ alors c'est toujours un polynôme de degré $n$ mais de coefficient dominant $(-1)^n$. 

Théorème :

Les racines du polynôme caractéristique de la matrice $\mathrm A$ sont les valeurs propres de $\mathrm A$.

4) Matrice diagonalisable

Définition :

On dit que la matrice $\mathrm A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $\mathrm P$ et une matrice diagonale $\mathrm D$ telle que $\rm A=PDP^{-1}$.

(On dit alors que $\mathrm A$ est semblable à la matrice $\mathrm D$).

Remarque :

Ne pas confondre << diagonalisable >> et << diagonale >>.

Une matrice diagonale est diagonalisable car si $\mathrm A$ est diagonale alors on peut écrire $\rm A=PDP^{-1}$ avec $\mathrm P=\mathrm I_n$ et $\rm D=A$. Mais une matrice diagonalisable n'est pas forcément diagonale.

5) Condition de diagonalisabilité

Il existe deux théorèmes donnant une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour qu'une matrice soit diagonalisable et un théorème donnant seulement une condition suffisante (CS) pour qu'une matrice soit diagonalisable.

Théorème (CNS de diagonalisabilité)

La matrice $\mathrm A$ est diagonalisable si et seulement si :

1. Le polynôme caractéristique $\rm P_A$ est scindé sur ${\Bbb R}$
2. Pour chaque valeur propre $\lambda$, l'ordre de multiplicité de $\lambda$ en tant que racine de $\rm P_A$ est égale à la dimension du sous-espace propre $\rm E_{A}(\lambda)$.

Théorème (CNS de diagonalisabilité)

La matrice $\mathrm A$ est diagonalisable si et seulement si :

1. Le polynôme caractéristique $\rm P_A$ est scindé sur ${\Bbb R}$
2. La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$

Théorème (CS de diagonalisabilité)

"Si $\mathrm A$ admet $n$ valeurs propres distinctes alors $\mathrm A$ est diagonalisable".

Étape 1 :

Calculer le polynôme caractéristique et en déduire le spectre de $\mathrm A$. On choisit un ordre arbitraire pour les valeurs propres.

Attention, si une valeur propre est multiple, elle apparaît autant de fois que sa multiplicité. Par exemple, si le spectre de la matrice est $\{-5,7\}$ et que $-5$ est valeur propre simple alors que $7$ est une valeur propre triple, la liste des valeurs propres (comptées avec la multiplicité) sera $-5,7,7,7$ et la matrice $\mathrm D$ diagonale apparaissant dans la diagonalisation éventuelle de $A$ sera la matrice diagonale $\mathrm D =\left( \begin{array}{cccc} -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 7\\ \end{array}\right)$.

Étape 2 :

Déterminer une base de chaque sous espace propre. Voir si l'une des conditions de diagonalisabilité s'applique.

Étape 3 :

Dans le cas où $\mathrm A$ est diagonalisable, la matrice $\mathrm P$ dans la formule de diagonalisation $\rm A=PDP^{-1}$ s'obtient en mettant en colonne les vecteurs des différentes bases des sous-espaces propres dans le même ordre que l'ordre choisi pour les valeurs propres. 

Exemple :

Soit la matrice $\mathrm A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ -8 & -3 & -4 \\ 6 & 3 & 4 \end{array}\right)$.

Étape 1 :

Calculons son polynôme caractéristique.

$\mathrm{P_A}(t) = \det(t\mathrm I_3-\mathrm A)$ $= \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 & -1 \\ 8 & t+3 & 4 \\ -6 & -3 & t-4 \end{array}\right|$.

L'opération $\rm C_3 \leftarrow C_3-C_2$ permet d'obtenir un zéro :

\[\mathrm{P_A}(t) = \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 & 0 \\ 8 & t+3 & 1-t \\ -6 & -3 & t-1 \end{array}\right|\]

On peut mettre encore un zéro grâce à l'opération : $\rm L_2 \leftarrow L_2+L_3$ :

\[\mathrm{P_A}(t) = \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 & 0 \\ 2 & t & 0 \\ -6 & -3 & t-1 \end{array}\right|\]

On développe par rapport à la dernière colonne :

\[\begin{array}{ll}\mathrm{P_A}(t) = (t-1)\left| \begin{array}{cc} t-3 & -1 \\ 2 & t \\ \end{array}\right| \\ = (t-1)\left[(t-3)t+2)\right] \\= (t-1)(t^2-3t+2) \\ =(t-1)(t-1)(t-2) \\ =(t-1)^2(t-2).\end{array}\]

Le spectre de la matrice $\mathrm A$ est donc $1$ (valeur propre double) et $2$ (valeur propre simple).

On pose : $\mathrm D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$.

Étape 2 :

Le sous-espace propre $\rm E_A(1)$ se détermine en résolvant le système $(\mathrm A-\mathrm I_3)\mathrm X=0$. On trouve $\mathrm{E_A}(1) = {\rm vect}(a,b)$ avec $a = (1,0,-2)$ et $b=(0,1,-1)$.

$\rm E_A(1)$ est de dimension $2$.

Le sous-espace propre $\rm E_A(2)$ se détermine en résolvant le système $(\mathrm A-2\mathrm I_3)\rm X=0$. On trouve $\rm E_A(2) = {\rm vect}(c)$ avec $c = (1,-4,3)$.

$\rm E_A(2)$ est de dimension $1$.

Le polynôme caractéristique $\rm P_A$ est scindé dans ${\Bbb R}$ et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante. La matrice $\mathrm A$ est diagonalisable. On a donc $\rm A=PDP^{-1}$ avec $\mathrm D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$ et $\mathrm P = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \\ -2 & -1 & 3 \end{array}\right)$.