Soit $\mathrm F$ un sous-espace vectoriel (sev).
Soit ${\mathcal B} =(u_1,\ldots,u_p)$ une famille de vecteurs de $\mathrm F$.
On veut savoir si la famille ${\mathcal B}$ est base ou non du sous-espace vectoriel $\mathrm F$. Pour cela, plusieurs méthodes sont possibles.
1ère méthode :
1) On montre que la famille ${\mathcal B}$ est libre ce qui veut dire que le système linéaire $\lambda_1 u_1 + \ldots + \lambda_p u_p = 0$ d'inconnues $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ n'admet que la solution nulle.
2) On montre ensuite que ${\mathcal B}$ est une famille génératrice de $F$ ce qui signifie que pour tout vecteur $x$ de $F$ il existe un $p$-uplet $(x_1,\ldots,x_p)$ de ${\Bbb R}$ tel que $x = x_1u_1+\ldots + x_pu_p$.
2ème méthode :
Les deux étapes de la première méthode peuvent être effectuées en une seule : ${\mathcal B}$ est une base de $\mathrm F$ si pour tout vecteur $x$ de $\mathrm F$ il existe un unique $p$-uplet $(x_1,\ldots,x_p)$ de ${\Bbb R}^p$ tel que $x = x_1u_1+\ldots + x_pu_p$.
Remarque :
L'existence montre que la famille ${\mathcal B}$ engendre $\mathrm F$ et l'unicité donne la liberté de ${\mathcal B}$.
3ème méthode :
Si on connaît à l'avance la dimension de $\mathrm F$ et que $\dim(\mathrm F)={\rm card}(\mathrm F)$, il suffit alors de montrer que ${\mathcal B}$ est libre.
Remarque :
Il suffirait aussi de montrer que ${\mathcal B}$ est génératrice de $F$ mais en général la liberté est plus simple à montrer que le caractère générateur.)
Cas particuliers :
a) Lorsque le sev est donné sous la forme d'un sev engendré c'est-à-dire si $\mathrm F = {\rm vect}(u_1,\ldots,u_p)$ alors on peut d'ors et déjà dire que la famille ${\mathcal B} = (u_1,\ldots,u_p)$ est une famille génératrice.
Deux cas peuvent alors se présenter :
Si ${\mathcal B}$ est libre alors c'est ${\mathcal B}$ est une famille libre et génératrice : c'est donc une base de $\mathrm F$.
Si ${\mathcal B}$ est liée alors l'un des vecteurs est nécessairement combinaison des autres. Admettons par exemple que ce vecteur soit $u_p$. Alors on a encore $\mathrm F = {\rm vect}(u_1,\ldots,u_{p-1})$.
Dans ce cas, on définit la famille ${\mathcal B}' = (u_1,\ldots,u_{p-1})$.
On recommence la discussion.
Si ${\mathcal B}'$ est libre alors c'est une famille à la fois libre et génératrice de $\mathrm F$ donc c'est une base de $\mathrm F$.
Sinon l'un des vecteurs de la famille ${\mathcal B}'$ est combinaison linéaire des autres. On peut alors l'enlever de la famille.
Au bout d'un moment, on arrive à une famille génératrice de $\mathrm F$ de cardinal minimum qui constitue une base de $\mathrm F$.
b) Lorsque le sev est donné par une ou des équations, la méthode consiste à exprimer un vecteur de $\mathrm F$ avec le minimum de lettres possibles.
Exemple :
On considère dans ${\Bbb R}^3$ la partie $\mathrm F$ définie par $\mathrm F = \{(x,y,z) \in {\Bbb R}^3 \mid 2x-y+3z=0\}$.
On a $(x,y,z) \in \mathrm F \iff y=2x+3z$.
Donc un vecteur de $\mathrm F$ peut s'écrire $(x,y,z) = (x,2x+3z,z) = (x,2x,0) + (0,3z,z) = x(1,2,0) + z(0,3,1)$.
On en déduit que $\mathrm F = {\rm vect}((1,2,0);(0,3,1))$ ce qui montre au passage que $\mathrm F$ est un sev car c'est un sev engendré (un théorème affirme qu'un sev engendré est un sev).
La famille ${\mathcal B} = ((1,2,0);(0,3,1))$ est une famille génératrice de $\mathrm F$. Comme les deux vecteurs sont non colinéaires, ${\mathcal B}$ est libre et donc c'est une base de $\mathrm F$. On en déduit que $\mathrm F$ est de dimension $2$.
Dans la recherche d'une base, il y a des choix. Dans cet exemple, on a choisi d'exprimer $y$ en fonction de $x$ et $z$ mais on aurait pu exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$. Cela mènerait à une autre base de $\mathrm F$ en l'occurrence la base ${\mathcal C} = \left((1/2,1,0)~;(-3/2,0,1)\right)$.
Il n'y a pas unicité de la base d'un sev mais en revanche le nombre de vecteurs constituant les différentes bases possibles est toujours le même. Ce qui permet de poser la définition suivante :
Définition :
La dimension d'un sev est le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) de n'importe quelle base de ce sev.
Remarque :
Attention à ne pas confondre le cardinal c'est-à-dire le nombre d'éléments et la dimension. Dans l'exemple précédent, $\mathrm F$ est de dimension $2$ car nous avons vu que la base ${\mathcal B}$ de $\mathrm F$ trouvée a deux vecteurs mais $\mathrm F$ lui-même a bien sûr une infinité de vecteurs.
