Mécanique - Dynamique et énergétique

$\underline{Torseur~dynamique}$ :

Soit $S$ un solide de masse $m$ et de centre de gravité $G$, on peut définir un torseur dynamique en tout point $M$ du solide $S$ par rapport au repère $R$ :

$\overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}}$ est l’accélération du point $G$ appartenant à $S$ par rapport au repère $R$.
Le moment dynamique $\overrightarrow{\delta_{A,S/R}}$ respecte la formule de Varignon :
$\overrightarrow{\delta_{A,S/R}}=\overrightarrow{\delta_{B,S/R}}+\overrightarrow{AB} \wedge m\overrightarrow{\Gamma_{G,S/R}}$.
De plus $\overrightarrow{\delta_{A,S/R}} = \frac{d\overrightarrow{\sigma_{A,S/R}}}{dt}+m\overrightarrow{V_{A,S/R}} \wedge \overrightarrow{V_{G,S/R}}$.

$\underline{Principe~Fondamental~de~la~dynamique~(PFD)}$ :

Le PFD s'applique de la même manière que le PFS, sauf que le second membre n'est pas nul. En détail:

1) Isoler un solide ou ensemble de solides.
2) Faire le bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à l’isolement, les traduire sous forme de torseurs (ne pas oublier le point d’application de chaque torseur).
3) Appliquer la formule de Varignon et ramener tous les torseurs au point correspondant à la liaison avec le plus d’inconnues.
4) Pour chaque solide contenu dans l'ensemble isolé, calculer le torseur dynamique en un point, puis les écrire au même point que les torseurs des actions mécaniques.
5) Par le PFD la somme des torseurs des actions mécaniques au point choisi est égal à la somme des torseurs dynamiques en ce même point.

$\underline{Définition~d'énergie~cinétique}$:

Soit $S$ un système matériel en mouvement par rapport à un repère $R$. On définit à l'instant $t$ l'énergie cinétique du système:

$E_{c}=\frac{1}{2}\int\limits_{M \in S}\overrightarrow{V_{M,S/R}}^{2}dm$

L'énergie cinétique peut s'écrire comme le comoment d'un torseur cinétique et d'un torseur cinématique, tous 2 exprimés au même point:

$E_{c}=\frac{1}{2}\{C_{S/R}\}_{A}\bigotimes\{V_{S/R}\}_{A}$

L'énergie cinétique peut être calculée en n'importe quel point, du moment que le comoment soit calculé pour 2 torseurs au même point.

L'énergie cinétique se calcule dans un référentiel galiléen, étant définie par une intégrale, c'est une grandeur additive. Donc lorsqu'un ensemble de solide est isolé, il est possible de calculer l'énergie cinétique de chaque solide séparément puis de sommer chaque terme pour avoir l'énergie cinétique totale.

$\underline{Cas~particuliers~de~mouvements}:$

Si le solide $S$ est en rotation autour d'un axe fixe dirigé par $(A,\vec{u})$. Soit $I_{A,\vec{u}}(S)$ le moment d'inertie de $S$ par rapport à cet axe et soit $\omega$ la norme du vecteur vitesse de rotation autour de cet axe, on a:

$E_{c}=\frac{1}{2}I_{A,\vec{u}}(S)\omega^{2}$

Si le solide $S$ est en translation, l'énergie cinétique peut s'exprimer en fonction de la masse $m$ du solide et de la vitesse au centre de gravité $G$:

$E_{c}=\frac{1}{2}m\overrightarrow{V_{G,S/R}}^{2}$ 

$\underline{Puissance~liée~à~une~action~mécanique}:$

Soit $\{F\}_{A}$ un torseur des actions mécaniques s'exerçant sur le solide $S$ indéformable. On définit la puissance développée par $\{F\}_{A}$ sur $S$ par rapport au repère $R$ par le comoment entre $\{F\}_{A}$ et le torseur cinématique exprimé au même point $A$:

$P(\{F\}_{A} \rightarrow S/R)=\{V_{S/R}\}_{A}\bigotimes\{F\}_{A}$

La puissance étant une grandeur additive, donc lorsqu'un ensemble de solide est isolé, il est possible de calculer les puissances sur chaque solide puis de les sommer.

Attention toutefois, la puissance totale sur un ensemble de solides est la somme des puissances dues aux actions mécaniques extérieures $P_{ext}$ et des puissances liées aux efforts inter-liaisons au sein de l'isolement $P_{int}$: $P_{total}=P_{ext}+P_{int}$.

Si les liaisons sont parfaites, la puissance intérieure est nulle $P_{int}=0$.

$\underline{Théorème~de~l'énergie~cinétique}:$

A tout instant $t$, dans un référentiel galiléen $R$ et pour un ensemble de solides $E$, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique $E_{c}(E/R)$ est égale à la puissance des actions mécaniques extérieures $P_{ext}$ ajoutée à la puissance des interefforts entre les solides de $E$ $P_{int}$:

$\frac{d}{dt}E_{c}(E/R)=P_{ext}+P_{int}$

Si un seul solide est isolé, il n'y a pas de puissance interne.

Le théorème de l'énergie cinétique est à privilégier pour des systèmes de mobilité 1 puisqu'elle permet d'obtenir directement l'équation scalaire du mouvement.

$\underline{Quelques~définitions}:$

En mécanique, la vibration est le phénomène de déplacement d'un solide autour de sa position d'équilibre. Lorsque le déplacement est provoqué par une excitation, on parle d'oscillations forcées. Lorsqu'une impulsion très courte provoque le mouvement, on parle de régime libre.

De manière générale, il existe un amortissement qui tend à stabiliser le système en régime libre sur sa position d'équilibre.

$\underline{Equation~du~mouvement~pour~un~système~à~1~DDL}:$

De manière générale, pour un système à 1 degré de liberté, le PFD donne l'équation différentielle suivante:

$\ddot{x}+2\xi\omega_{0}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=f(t)$

$\xi \ge 0$ est le facteur d'amortissement sans unité, $\omega_{0}$ est la pulsation propre en $rad.s^{-1}$ et $f(t)$ est le terme d'excitation.

Lorsque le régime est libre $f(t)=0$, si de plus il est non amorti on a $\xi=0$, l'équation du mouvement devient $\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0$. Ses solutions sont de la forme $x(t)=Acos(\omega_{0}t)+Bsin(\omega_{0}t)$. Le déplacement est sinusoïdal périodique.

Lorsque le régime est libre et amorti l'équation différentielle s'écrit $\ddot{x}+2\xi\omega_{0}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0$. On note $r^{2}+2\xi\omega_{0}r+\omega_{0}^{2}=0$ le polynôme caractéristique associé. Plusieurs solutions sont possibles d'après le calcul du discriminant du polynôme caractéristique $\Delta=4\omega_{0}^{2}(\xi^{2}-1)$.

$\underline{Les~3~régimes~en~oscillations~libres~amorties}:$

Si $\Delta>0$:

Autrement dit si $\xi>1$, l'équation caractéristique admet 2 racines réelles distinctes notées $r_{1}$ et $r_{2}$. Le régime est dit apériodique et la solution de l'équation différentielle prend la forme $x(t)=A.e^{r_{1}t}+B.e^{r_{2}t}$. Il n'y a pas d'oscillations observables. Les conditions initiales permettent de calculer les constantes $A$ et $B$.

Si $\Delta=0$:

Autrement dit si $\xi=1$, l'équation caractéristique admet 1 racine réelle double notée $r_{0}$. Le régime est dit critique et la solution de l'équation différentielle prend la forme $x(t)=(A+Bt)e^{r_{0}t}$. C'est le régime qui tend le plus vite vers la position d'équilibre.

Si $\Delta<0$:

Autrement dit si $\xi<1$, l'équation caractéristique admet 2 racines complexes conjuguées notées $r_{1}=\rho+j\omega$ et $r_{2}=\rho-j\omega$ (avec $j^{2}=-1$). Le régime est dit pseudo-périodique et la solution de l'équation différentielle prend la forme $x(t)=e^{\rho.t}(Acos(\omega.t)+Bsin(\omega.t))$. On peut observer des oscillations qui s'atténuent avec le temps.

$\underline{Cas~des~oscillations~forcées}:$

Cette fois on considère l'équation différentielle $\ddot{x}+2\xi\omega_{0}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=f(t)=f_{0}cos(\omega.t)$ dont on suppose connaître la solution homogène $x_{0}(t)$.

Pour obtenir la solution particulière on cherche une fonction de la forme $x_{1}(t)=Acos(\omega.t)+Bsin(\omega.t)$. En la réinjectant dans l'équation différentielle on trouve les coefficients $A$ et $B$ qui conviennent.

La solution particulière prend rapidement le pas sur la solution homogène, donc après un certain temps seul le terme $x_{1}(t)$ reste et $x_{0}(t)=0$.