Corps et algèbres

Méthode 1 : Montrer que $\rm (K,+,\times)$ est un corps 

• Utiliser la définition d’un corps : 
  • $\rm (K,+,\times)$ est un anneau commutatif
  • $\rm K$ est non réduit à $\rm \{0_K\}$
  • Tous les éléments de $\rm K$, non nuls, sont inversibles.

• Utiliser la notion d’idéal :

Propriété : $\rm K$, anneau, est un corps si et seulement si il a exactement deux idéaux : $\rm \{0_K\}$ et $\rm K$.

• Identifier $\rm (K,+,\times)$ comme un corps connu :

$(\mathbb C, +,\times)$, $(\mathbb R, +,\times)$ sont des corps usuels.

Théorème : Cas particulier de $\rm \mathbb Z/m\mathbb Z$ :

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• • $\rm m$ est un nombre premier.
  • L’anneau $\rm \mathbb Z/m\mathbb Z$ est intègre.
  • L’anneau $\rm \mathbb Z/m\mathbb Z$ est un corps 

• Identifier un sous-corps :

Soit $\rm (K,+,\times)$.
Si $\rm (L,+,\times)$ est un sous-corps de $\rm (K,+,\times)$ alors $\rm (L,+,\times)$ est un corps.

Remarque : $\rm L$ partie de $\rm K$ est un sous-corps de $\rm (K,+,\times)$ si :

• • $\rm L$ est un sous-anneau de $\rm (K,+,\times)$
  • Pour tout $x\in \rm L$, $x\neq 0_{\rm K} \Rightarrow x^{-1}\in \rm L$

Méthode 2 : Identifier une $\mathbb K$-algèbre

• Utiliser la définition d’une algèbre :

Soit $\rm (A,+,\times,\bullet)$ un quadruplet avec $\rm A$ ensemble, $+,\times$ lois de composition interne sur $\rm A$ et $\bullet$ produit extérieur opérant de $\mathbb K$ sur $\rm A$.

$\rm (A,+,\times,\bullet)$ est une $\mathbb K$-algèbre si :

• • $\rm (A,+,\bullet)$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel
  • $\rm (A,+,\times)$ est un anneau
  • Pour tout $\lambda \in \mathbb K$, pour tous $x,y\in \rm A$, $(\lambda \bullet x)y=\lambda \bullet (xy)=x(\lambda \bullet y)$

Remarque : $\rm (A,+,\bullet)$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel si :

• • $\rm (A,+)$ est un groupe abélien
  • Pour tous $x,y\in \rm A$, pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb K$, $\lambda \bullet (x+y)=\lambda \bullet x+\lambda \bullet y$,
    $(\lambda + \mu)\bullet x=\lambda \bullet x + \mu \bullet x$,
    $\lambda \bullet(\mu x)=(\lambda \mu)\bullet x$ et $1\bullet x=x$.

Les éléments de $\mathbb K$ sont les scalaires et ceux de $\rm A$ les vecteurs.

• Identifier des algèbres connues :

$\mathbb K$, $\rm \mathbb K[X]$, sont des $\mathbb K$- algèbres commutatives.

• Identifier une sous-algèbre d’une algèbre connue :

Une sous-algèbre est une $\mathbb K$-algèbre pour les lois restreintes avec les mêmes neutres.

Remarque : $\rm B$, partie de $\rm A$, $\mathbb K$-algèbre est une sous-algèbre si :

• • $\rm 1_A\in B$
  • Pour tous $\lambda,\mu \in \mathbb K$, pour tous $x,y\in \rm B$, $\lambda x+\mu y \in \rm B$
  • Pour tous $x,y \in \rm B$, $xy \in \rm B$.