Soit (X,A,μ) un espace mesuré.

Définition : Soit f:XC une fonction mesurable.

  • Pour p[1,+[, on définit : fp=(X|f|pdμ)1/p.
  • On définit : f={+ si f n'a pas de majorant essentielinf des majorants essentiels sinon MR est un majorant essentiel de f si μ(xX/|f(x)|>M)=0.

Définitions

On note Lp(X,A,μ) l’ensemble des fonctions f mesurables telles que fp<+.

On note L(X,A,μ) l’ensemble des fonctions f mesurables telles que f<+.

Propriété : Lp(X,A,μ) et L(X,A,μ) sont des espaces vectoriels.

Définition : Pour p[1,+], on définit l’espace quotient Lp(X,A,μ)=Lp(X,A,μ)/μ où la relation d’équivalence μ est définie par : fμg si et seulement si f est égale à g μ-presque partout.

Pour p[1,+], Lp(X,A,μ) est donc l’espace vectoriel des classes d’équivalence des fonctions f telles que |f|p est μ_intégrable.

Remarque : p n’est pas une norme sur Lp(X,A,μ) mais une semi-norme car fp=0 n’implique pas f=0 mais seulement que f=0 μ-presque partout.

Mais p est une norme sur Lp(X,A,μ) car fp=0 implique f=0 μ-presque partout c’est-à-dire f est la classe nulle.

Définition : Soient p,q[1 ;+]. p et q sont des exposants conjugués si 1p+1q=1.

Théorème : Inégalité de Hölder 

Soient f,g:XC des fonctions mesurables. Soient p,q des exposants conjugués dans [1 ;+]. Si fLp(X,A,μ) et gLq(X,A,μ), alors fgL1(X,A,μ) et fg1=X|fg|dμfpgq.

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient f,g:XC des fonctions mesurables. Si f et gL2(X,A,μ), alors |fgdμ|2(|f|2dμ)(|g|2dμ).

Théorème : Inégalité de Minkowski

Soient f,g:XC des fonctions mesurables. Si f et gLp(X,A,μ), alors f+gpfp+gp.

Théorème : Si fn converge vers f dans Lp(X,A,μ) (c’est-à-dire lim), alors il existe une sous-suite de qui converge -presque partout vers .

Théorème : Si , alors pour , .