Soit (X,A,μ) un espace mesuré.
Définition : Soit f:X→C une fonction mesurable.
- Pour p∈[1,+∞[, on définit : ‖f‖p=(∫X|f|pdμ)1/p.
- On définit : ‖f‖∞={+∞ si f n'a pas de majorant essentielinf des majorants essentiels sinon où M∈R est un majorant essentiel de f si μ(x∈X/|f(x)|>M)=0.
Définitions :
On note Lp(X,A,μ) l’ensemble des fonctions f mesurables telles que ‖f‖p<+∞.
On note L∞(X,A,μ) l’ensemble des fonctions f mesurables telles que ‖f‖∞<+∞.
Propriété : Lp(X,A,μ) et L∞(X,A,μ) sont des espaces vectoriels.
Définition : Pour p∈[1,+∞], on définit l’espace quotient Lp(X,A,μ)=Lp(X,A,μ)/∼μ où la relation d’équivalence ∼μ est définie par : f∼μg si et seulement si f est égale à g μ-presque partout.
Pour p∈[1,+∞], Lp(X,A,μ) est donc l’espace vectoriel des classes d’équivalence des fonctions f telles que |f|p est μ_intégrable.
Remarque : ‖⋅‖p n’est pas une norme sur Lp(X,A,μ) mais une semi-norme car ‖f‖p=0 n’implique pas f=0 mais seulement que f=0 μ-presque partout.
Mais ‖⋅‖p est une norme sur Lp(X,A,μ) car ‖f‖p=0 implique f=0 μ-presque partout c’est-à-dire f est la classe nulle.
Définition : Soient p,q∈[1 ;+∞]. p et q sont des exposants conjugués si 1p+1q=1.
Théorème : Inégalité de Hölder
Soient f,g:X→C des fonctions mesurables. Soient p,q des exposants conjugués dans [1 ;+∞]. Si f∈Lp(X,A,μ) et g∈Lq(X,A,μ), alors fg∈L1(X,A,μ) et ‖fg‖1=∫X|fg|dμ≤‖f‖p‖g‖q.
Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient f,g:X→C des fonctions mesurables. Si f et g∈L2(X,A,μ), alors |∫fgdμ|2≤(∫|f|2dμ)(∫|g|2dμ).
Théorème : Inégalité de Minkowski
Soient f,g:X→C des fonctions mesurables. Si f et g∈Lp(X,A,μ), alors ‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p.
Théorème : Si fn converge vers f dans Lp(X,A,μ) (c’est-à-dire lim), alors il existe une sous-suite de qui converge -presque partout vers .
Théorème : Si , alors pour , .