Fonctions mesurables et intégrables

Soit $\rm (X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré.

Définition : Soit $\rm (X,\mathcal A), (Y,\mathcal B)$ deux espaces munis de tribus.

Une fonction $f : \rm X\to Y$ est $\rm (\mathcal A,\mathcal B)$ -mesurable si et seulement si pour tout $\rm B\in\mathcal B$, $f^{-1}\rm (B)\in\mathcal A$.

Définition : Une fonction indicatrice $\rm 1_A$ d’un ensemble $\rm A$ est la fonction définie par : $1_{\mathrm A}(x)=1$ si $x\in \rm A$ et $1_{\rm A}(x)=0$ si $x\notin \rm A$.

Propriété : La fonction indicatrice de $\rm A$ est une fonction mesurable de $\rm (X,\mathcal A)$ dans $\mathbb R$ si et seulement si $\rm A$ est un ensemble mesurable.

Propriété : Une fonction continue de $\rm (X,\mathcal T)$ dans $\rm (Y,\mathcal T’)$ est mesurable pour les tribus boréliennes $\rm \mathcal B(X)$ er $\rm \mathcal B(Y)$ associées à $\rm X$ et $\rm Y$.

Théorème : Soit $(f_{\rm n})_{\rm n\geq 1}$ une suite de fonctions mesurables sur $\rm (X,\mathcal A)$ dans un espace métrique $\rm (E,d)$. Si cette suite de fonctions converge simplement vers $f$ (c’est-à-dire pour tout $x\in \rm X$, $f(x)=\displaystyle\lim_{\rm n\to +\infty}f_{\rm n}(x)$) alors $f$ est une fonction mesurable à valeurs dans $\rm E$.

Définition : Soit $f : \rm (X,\mathcal A,\mu)\to [0,+\infty]$ mesurable.
$f$ est $\mu$-intégrable si $\displaystyle \int f \mathrm d\mu <+\infty$ où $\int f \mathrm d\mu=\int_{\rm X} f d\mu =\rm sup(\int s d\mu/s\text{ étagée} \leq \mathcal f)$.

Remarques : 

• Une fonction $\rm s$ est étagée positive si elle est de forme $\displaystyle \rm \sum_{i=1}^n\alpha_i 1_{A_i}$ où les $\rm A_i$ sont $2$ à $2$ disjoints et les $\rm \alpha_i$ sont positifs.
• $\displaystyle \int_{\rm E} f \rm d\mu=\int_X {\mathcal f}1_E d\mu$.

Définition : Soit $f : \rm (X,\mathcal A,\mu)\to \mathbb R$ mesurable.
$f$ est $\mu$-intégrable si $\int |f| \rm d\mu <+\infty$.

Propriétés :

• Soient $f$ et $g$ des fonctions mesurables réelles et $f\leq g$ alors $\int f \mathrm d\mu \leq \int g \mathrm d\mu$.
• Si $\rm \mu(E)=0$, alors $\int_{\rm E} f d\mu=0$ pour toute fonction intégrable.
• Soit $\rm a,b\in \mathbb C$ et $f,g$ fonctions intégrables de $\rm X$ dans $\mathbb C$. Alors $\displaystyle \int(\mathrm af+\mathrm bg)\mathrm d\mu=\mathrm a\displaystyle \int f \rm d\mu+ b\int \mathcal g d\mu$.
• Relation de Chasles : Si $\rm A$ et $\rm B$ sont disjoints, $\displaystyle \int_{\rm A\cup B}f \mathrm d\mu$ $\displaystyle =\int_{\rm A} f \mathrm d\mu+\int_{\rm B} f \rm d\mu$.
• Soit $f : \rm (X,\mathcal A,\mu)\to \mathbb C$ fonction intégrable. Alors $\displaystyle |\int f \mathrm d\mu|\leq \int |f| \mathrm d\mu$.

Définition : Soit $\rm A\in\mathcal A$. $\rm A$ est ($\mu$-) négligeable si $\rm \mu(A)=0$.

Définition : Une fonction $f$ mesurable est ($\mu$-) négligeable s’il existe $\rm A$ $\mu$-négligeable tel que pour tout $x$ n’appartenant pas à $\rm A$, $f(x)=0$.

Définition : Une propriété est vraie ($\mu$-) presque partout si l’ensemble des points où elle n’est pas vraie est $\mu$-négligeable.

Propriété : Si $f=g$ presque partout (c’est-à-dire $\{x\in \mathrm X/f(x)\neq g(x)\}$ est négligeable) alors $f$ est intégrable si et seulement si $g$ l’est et $\displaystyle \int f \mathrm d\mu=\int g \mathrm d\mu$.

Théorème : Convergence dominée

Soit $f_n : \rm (X,\mathcal A, \mu) \to \mathbb C$ (avec $\rm n\geq 1$) mesurables telles que $f_{\rm n} \to f$ presque partout quand $\rm n\to +\infty$. S’il existe une fonction mesurable $g : \rm (X,\mathcal A,\mu)\to [0 ;+\infty]$ telle que :

• $|f_{\rm n}|\leq g$ presque partout
• $g$ est $\mu$-intégrable 

Alors $\displaystyle\lim_{\rm n\to +\infty}\int f_{\rm n} \mathrm d\mu=\int f \mathrm d\mu$.

Remarque : Ce théorème permet donc d’intervertir limite et intégrale.

Théorème : Continuité sous l’intégrale

Soit un espace métrique $\rm T$ avec $\rm T=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Soit $f : \rm T\times X\to \mathbb C$. On suppose que :

• Pour tout $\rm t\in T$, $x\mapsto f(\mathrm t,x)$ est mesurable.
• Pour tout $(\mathrm t,x)\in \rm T\times X$, $|f(\mathrm t,x)|\leq g(x)$ avec $g$ fonction $\mu$-intégrable.
• Soit $\rm t_0\in T$, pour presque tout $x\in \rm X$, $t\mapsto f(\mathrm t,x)$ est continue en $\rm t_0$.

Alors $\displaystyle \rm F :t\mapsto \int_X f(t,\mathcal x)d\mu$ est continue en $\rm t_0$.

Théorème : Dérivabilité sous l’intégrale

Soit $\rm I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$. Soit $f : \rm I\times X\to \mathbb C$. On suppose que :

• Pour tout $\rm t\in I$, $x\mapsto f(\mathrm t,x)$ est mesurable.
• Il existe $\rm t_0\in I$ tel que $x\mapsto f(\mathrm t_0,x)$ est $\mu$-intégrable.
• Pour tout $x\in \rm A$, $\mathrm t\mapsto f(\mathrm t,x)$ est dérivable en tout $\rm t\in I$ (avec $\rm A\in\mathcal A$ tel que $\rm \mu(A^c)=0$).
• Pour tout $x\in \rm A$, pour tout $\rm t\in I$, $\displaystyle |\frac{\partial f}{\partial \rm t}(\mathrm t,x)|\leq g(x)$ avec $g$ fonction $\mu$-intégrable.

Alors $\displaystyle \rm F : t\mapsto \int_X f(t,\mathcal x)d\mu$ est dérivable de dérivée $\displaystyle \rm F'(t)= \int_X \frac{\partial \mathcal f}{\partial t}(t,\mathcal x)d\mu$.