Définition : Soit $\rm G$ un groupe et $\rm X$ un ensemble.

On définit une action à gauche de $\rm G$ sur $\rm X$ par la fonction : $\rm \alpha :G\times X \to X$ tel que $\alpha (g,x)=gx$ qui vérifie :

  • $(gh)x=g(hx)$ pour tous $g,h\in \rm G$, $x\in \rm X$.
  • $1x=x$ pour tout $x\in \rm X$.

Remarque : De façon analogue, on définit une action à droite de $\rm X\times G$ vers $\rm X$ par $(x,g)\to xg$ tel que $x(gh)=(xg)h$ et $x1=x$.

Propriété : Si $\rm G$ est commutatif, toute action à droite est aussi une action à gauche.

Définition : Soit $\rm X$ un ensemble sur lequel $\rm G$ définit une action de groupes.

  • Pour tout $x\in \rm X$, on définit le stabilisateur de $x$ dans $\rm G$ par : $\mathrm G_x :=\{g\in \mathrm G/gx=x\}$.
  • Pour tout $x\in \rm X$, on définit l’orbite de $x$ sous $\rm G$ (notée aussi $\mathrm O_x$) par : $\mathrm Gx :=\{gx/g\in \mathrm G\}$.

Proposition : Soit $\rm X$ un ensemble sur lequel $\rm G$ définit une action de groupes.

Soit $x\in \rm X$.

  • $\mathrm G_x$ est un sous-groupe de $\rm G$.
  • Pour tout $g\in \rm G$, $\mathrm G_{gx}=g\mathrm G_xg^{-1}$.

Définition : Soit $\rm G$ un groupe et $\rm H$ un sous-groupe de $\rm G$.

$\rm H$ est distingué (ou normal) si pour tout $g\in \rm G$ et pour tout $h\in \rm H$, l’élément $ghg^{-1}$ est dans $\rm H$.

Un groupe est simple si ses seuls sous-groupes distingués sont $\{1\}$ et $\rm G$.

Exemples : $\{1\}$ et $\rm G$ sont des sous-groupes distingués.
$\rm \mathbb Z/p\mathbb Z$ est simple si $\rm p$ est un nombre premier.

Définition : Soit $\rm G$ un groupe et $\rm H$ un sous-groupe de $\rm G$ distingué.

On définit sur $\rm G$ la relation d’équivalence :

Pour tous $x,y\in \rm G$, $x\mathrm Ry \Leftrightarrow xy^{-1}\in \rm H$.

En notant $\bar{x}\in \rm G/H$, la classe d’équivalence de $x$ sur $\rm G$, on a : pour tous $x,y\in \rm G$, $\bar{x}\times\bar{y}=\overline{x\times y}$.

Théorème : $\rm G/H$ est un groupe appelé groupe quotient de $\rm G$ par $\rm H$.

Proposition : Si $\rm G$ est abélien, $\rm G/H$ l’est aussi.

Théorème de Lagrange : Soit $\rm G$ un groupe fini.

Si $\rm H$ est un sous-groupe de $\rm G$, alors le cardinal de $\rm H$ divise celui de $\rm G$.

En notant $\rm |G/H|$ le cardinal de $\rm G/H$ (appelé aussi indice de $\rm H$ dans $\rm G$), on obtient $\rm |G|=|H|\times |G/H|$.

Proposition : Si $\rm G$ et $\rm G’$ sont deux groupes et que $f : \rm G\to G’$ est un morphisme de groupes, alors le noyau de $f$ est un sous-groupe normal de $\rm G$.

Théorème d’isomorphisme : Soit $\rm G,G’$ deux groupes et $f : \rm G\to G’$ un morphisme de groupes.

Alors il existe un isomorphisme $\bar{f} : \mathrm{G/Ker} f \to \mathrm{Im} f$.