Définition : Soient f,g:R→C deux fonctions mesurables. On suppose qu’il existe une partie A de R de mesure nulle telle que pour tout x∉A, ∫+∞−∞|f(t)‖.
On définit alors la fonction convolée de et (ou produit de convolution entre et ), définie presque partout et notée , par : pour tout , .
Propriété : Soit . Alors et .
Propriétés : Soit . Soit .
- .
Propriété : Soit . Alors .
Propriété : Soit , alors et .
Théorème : Soit , . Alors .
Théorème : Inégalité de Young
Soient tels que .
Si et , alors et .
Si de plus , est uniformément continue sur .
Théorème : Soit fonction de classe à support compact et .
Alors est de classe sur et .