Définition : Soient f,g:R→C deux fonctions mesurables. On suppose qu’il existe une partie A de R de mesure nulle telle que pour tout x∉A, ∫+∞−∞|f(t)‖g(x−t)|dt<+∞.
On définit alors la fonction convolée de f et g (ou produit de convolution entre f et g), définie presque partout et notée f∗g, par : pour tout x∈AC, f∗g(x)=∫+∞−∞f(t)g(x−t)dt.
Propriété : Soit f,g∈L1. Alors f∗g∈L1 et ‖f∗g‖1≤‖f‖1‖g‖1<+∞.
Propriétés : Soit f,g,h∈L1. Soit α,β∈C.
- f∗g=g∗f
- f∗(αg+βh)=αf∗g+βf∗h
- ∫+∞−∞f∗g(x)dx =(∫+∞−∞f(x)dx)(∫+∞−∞g(x)dx).
Propriété : Soit f,g∈L1. Alors ^f∗g=ˆfˆg.
Propriété : Soit f,g∈L2, alors fg∈L1 et ^fg=12πˆf∗ˆg.
Théorème : Soit f,g∈L2, x∈R. Alors |f∗g(x)|≤‖f‖2‖g‖2.
Théorème : Inégalité de Young
Soient p,q,r∈[1 ;+∞[ tels que 1p+1q=1+1r.
Si f∈Lp(R) et g∈Lq(R), alors f∗g∈Lr(R) et ‖f∗g‖r≤‖f‖p‖g‖q.
Si de plus r=+∞, f∗g est uniformément continue sur R.
Théorème : Soit f fonction de classe C1 à support compact et g∈L1(R).
Alors f∗g est de classe C1 sur R et (f∗g)′=f′∗g.