Définition : Soient f,g:RC deux fonctions mesurables. On suppose qu’il existe une partie A de R de mesure nulle telle que pour tout xA, +|f(t)g(xt)|dt<+.

On définit alors la fonction convolée de f et g (ou produit de convolution entre f et g), définie presque partout et notée fg, par : pour tout xAC, fg(x)=+f(t)g(xt)dt.

Propriété : Soit f,gL1. Alors fgL1 et fg1f1g1<+.

Propriétés : Soit f,g,hL1. Soit α,βC.

  • fg=gf
  • f(αg+βh)=αfg+βfh
  • +fg(x)dx =(+f(x)dx)(+g(x)dx).

Propriété : Soit f,gL1. Alors ^fg=ˆfˆg.

Propriété : Soit f,gL2, alors fgL1 et ^fg=12πˆfˆg.

Théorème : Soit f,gL2, xR. Alors |fg(x)|f2g2.

Théorème : Inégalité de Young

Soient p,q,r[1 ;+[ tels que 1p+1q=1+1r.

Si fLp(R) et gLq(R), alors fgLr(R) et fgrfpgq.

Si de plus r=+, fg est uniformément continue sur R.

Théorème : Soit f fonction de classe C1 à support compact et gL1(R).

Alors fg est de classe C1 sur R et (fg)=fg.