Définition : Soient $f,g:\mathbb R\to \mathbb C$ deux fonctions mesurables. On suppose qu’il existe une partie $\rm A$ de $\mathbb R$ de mesure nulle telle que pour tout $x\notin \rm A$, $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|f(\mathrm t)\|g(x-\rm t)|dt<+\infty$.
On définit alors la fonction convolée de $f$ et $g$ (ou produit de convolution entre $f$ et $g$), définie presque partout et notée $f\ast g$, par : pour tout $x\in \rm A^C$, $f\ast g(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(\mathrm t)g(x-\rm t)dt$.
Propriété : Soit $f,g\in \rm L^1$. Alors $f\ast g\in \rm L^1$ et $\|f\ast g\|_1\leq \|f\|_1\|g\|_1<+\infty$.
Propriétés : Soit $f,g, h \in \rm L^1$. Soit $\alpha,\beta \in\mathbb C$.
- $f\ast g =g\ast f$
- $f\ast (\alpha g +\beta h)=\alpha f\ast g+\beta f\ast h$
- $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f\ast g(x)\mathrm dx$ $\displaystyle =\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx\right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\mathrm dx\right)$.
Propriété : Soit $f,g \in \rm L^1$. Alors $\widehat{f\ast g}=\hat{f}\hat{g}$.
Propriété : Soit $f,g \in \rm L^2$, alors $fg\in \rm L^1$ et $\displaystyle \widehat{fg}=\frac{1}{2\pi}\hat{f}\ast\hat{g}$.
Théorème : Soit $f,g \in \rm L^2$, $x\in\mathbb R$. Alors $|f\ast g(x)|\leq \|f\|_2 \|g\|_2$.
Théorème : Inégalité de Young
Soient $\rm p,q,r\in [1~ ;+\infty[$ tels que $\displaystyle \frac{1}{\rm p}+\frac{1}{\rm q}=1+\frac{1}{\rm r}$.
Si $f\in \rm L^p(\mathbb R)$ et $g\in \rm L^q(\mathbb R)$, alors $f\ast g\in \rm L^r(\mathbb R)$ et $\|f\ast g\|_{\rm r}\leq \|f\|_{\rm p} \|g\|_{\rm q}$.
Si de plus $r=+\infty$, $f\ast g$ est uniformément continue sur $\mathbb R$.
Théorème : Soit $f$ fonction de classe $\rm C^1$ à support compact et $g\in \rm L^1(\mathbb R)$.
Alors $f\ast g$ est de classe $\rm C^1$ sur $\mathbb R$ et $(f\ast g)’=f’\ast g$.
