Outils mathématiques

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto e^x$. Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels.
La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés :

Pour tout nombre réel a et tout nombre réel strictement positif b, on a :

$e^a$ = $b$ $\Leftrightarrow$ $a$ = ln($b$)

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

$e^{a + b}$ = $e^{a} \times e^{b}$ ; $e^{-a}$ = $\frac{1}{e^a}$ ; $e^{a - b}$ = $\frac{e^a}{e^b}$ ; ${(e^a)}^n$ = $e^{n a}$ ($n$ entier naturel).

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle I, $e^u$ est dérivable sur I et ($e^u$)’ = $u' \times e^u$ sur cet intervalle.

Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien définie sur $]0 ~; +\infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l’unique solution de l’équation $e^{y} = x$ d’inconnue $y$.
Elle est définie, continue, dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
Pour tout $x \in ]0 ; +\infty [$, $\ln’(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

$\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$. 

Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs : 

$\ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{1}{b}) = -ln(b)$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - ln(b)$ ; $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier naturel).

Logarithme décimal 

Le logarithme décimal, notée $\log_{10}$ est la fonction définie sur ${\mathbb{R}}_+^*$ par :

$\displaystyle \log_{10}(x)= \frac{\ln(x)}{\ln(10)}$.

Une fonction puissance est une fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x^{\alpha}$ avec $\alpha$ réel strictement positif.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

Application :

L’unique solution de l’équation $x^{\alpha} = k$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ avec $k > 0$ et $\alpha$ réel strictement positif est $\displaystyle 10^{\frac{\log(k)}{\alpha}}$. 

$x^{\alpha} = k$ $\Leftrightarrow$ $\log(x^{\alpha}) = \log(k)$ $\Leftrightarrow$ $\alpha \log(x) = \log(k)$ $\Leftrightarrow$ $\log(x) = \frac{\log(k)}{\alpha}$ $\Leftrightarrow$ $x = 10^{\frac{\log(k)}{\alpha}}$

Représentations graphiques selon les valeurs de $\alpha$ : 

$0 < \alpha = \frac{1}{2} < 1$ ; $\alpha = 3 > 1$

Tableau de dérivées :

Tableau de primitives :

Définition

Un nombre complexe z est écrit sous forme algébrique si $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont deux réels et où i est le nombre complexe tel que $i^2$ = -1.

$a$ est appelé la partie réelle de $z$ et est noté $Re(z)$ ; $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et est noté $\Im(z)$.

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

$r$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$. Il s'agit toujours d'un réel strictement positif car, géométriquement, c'est la distance entre l'origine $O$ et le point $M$ d'affixe $z$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\arg(z)$. Il est défini à $2\pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté ($\vec{u}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$) (en radians) dans le repère orthonormal direct ($0$ ; $\vec{u}$ ; $\vec{v}$).

Propriétés

Pour tous les nombres complexes ${z}_1$ et ${z}_2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a :

$\mid {z}_1 \times {z}_2 = \mid {z}_1 \mid \times \mid {z}_2 \mid$

$\arg({z}_1 \times {z}_2) = \arg({z}_1) + \arg({z}_2) (2\pi)$

$\mid {{z}_1}^{n} \mid = {\mid {z}_1 \mid}^{n}$

$\arg({{z}_1}^{n}) = n \times \arg({z}_1) (2\pi)$

Forme exponentielle

Un nombre complexe non nul z est écrit sous forme exponentielle lorsque $z = r e^{i\theta}$, où $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in ]-\pi~ ; \pi]$.

Passage de la forme algébrique à la trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0, r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos(\theta) = \frac{a}{r}$ et $\sin(\theta) = \frac{b}{r}$ 

On utilise ensuite le cercle trigonométrique pour déterminer $\theta$.

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, on a $z = a + bi$ avec :

$a = r \cos(\theta)$ et $b = r \sin(\theta)$.

Equation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’(t) + by(t) = c(t)$ $\mathrm{(E)}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul, et $c$ une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de $\mathrm{(E)}$ et des solutions générales de l’équation $\mathrm{(E’)}$ $ay’(t) + by(t) = 0$ sans second membre.

On a donc $y(t) = ke^{-\frac{b}{a} t} + y_0 (t)$ où $k$ est un nombre réel et $y_0$ une solution particulière de $\mathrm{(E)}$.

Equation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction y deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = d(t)$ $\mathrm{(E)}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, $a$ non nul, et $d$ une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de $\mathrm{(E)}$ et des solutions générales de l’équation $\mathrm{(E’)}$ $ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0$ sans second membre.

On appelle $ar^2 + br + c = 0$ équation caractéristique de $\mathrm{(E’)}$.

• Si $\Delta > 0$, l’équation a deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = \mathrm{A} e^{r_1 t} + \mathrm{B} e^{r_2 t}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.
• Si $\Delta = 0$, l’équation a une seule solution $r = -\frac{b}{2a}$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = -(\mathrm{A} + \mathrm{B} t)e^{rt}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.
• Si $\Delta < 0$, l’équation a deux solutions complexes $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} \cos(\beta t) + \mathrm{B} \sin(\beta t))e^{\alpha t}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.