Fonctions numériques

1) Définition :

Soit $A$ une partie de ${\Bbb R}$. Une fonction de $A$ dans ${\Bbb R}$ associe à chaque réel de l'ensemble de départ $A$ un réel. 

$A$ est l'ensemble de départ; ${\Bbb R}$ est l'ensemble d'arrivée. 

Une fonction se note :
\[\begin{array}{ccc}
f: A & \mapsto & {\Bbb R}\\
 x & \rightarrow & f(x)
\end{array}\]

$f(x)$ s'appelle l'image de $x$ ; $x$ s'appelle UN antécédent de $f(x)$.

Exemple :

Soit l'application :

\[\begin{array}{ccc}
f: {\Bbb R} & \rightarrow & {\Bbb R}\\
 x & \mapsto & x^2-3x+2
\end{array}.\]

$0$ est une image car $f(1)=0$. 

$1$ est un antécédent de $0$ mais ce n'est pas seul. En fait les antécédents de $E$ sont les solutions de l'équation du second degré $x^2-3x+2=0$ soit $1$ et $2$. 

Définition :

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ ait un sens. 

Par exemple, la fonction $f:x \mapsto x^2-3x+2$ est définie sur ${\Bbb R}$ tout entier : on écrit $D_f={\Bbb R}$ mais on peut l'étudier que sur une partie de son ensemble de définition, par exemple ${\Bbb R}^+$.

2) Fonctions de référence :

• Les fonctions constantes : $x \mapsto c$
• Les fonctions affines : $x \mapsto ax+b$
• Les trinômes du second degré : $x \mapsto ax^2+bx+c$
• Plus généralement, les fonctions polynomiales : $x \mapsto a_0+a_1x+a_2x^2+ \ldots + a_nx^n$.
  Les fonctions polynomiales sont définies sur ${\Bbb R}$.
• La fonction exponentielle : $x \mapsto e^x$ ; elle est définie sur ${\Bbb R}$.
• La fonction logarithme : $x \mapsto \ln(x)$ ; elle est définie sur $]0,+\infty[$.
• La fonction racine carrée : $x \mapsto \sqrt{x}$ ; elle est définie sur ${\Bbb R}^+$. (Noter que $\sqrt{0}$ existe et vaut d'ailleurs $0$.)
• Les fonctions trigonométriques : $x \mapsto \cos(x)$ et $x \mapsto \sin(x)$ sont définies sur ${\Bbb R}$. 

Attention :

La fonction $\displaystyle{x \mapsto \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}}$ n'est pas définie sur ${\Bbb R}$ mais sur $\displaystyle{{\Bbb R} \backslash \{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in {\Bbb Z}\}}$.

3) Sens de variation d'une fonction. 

Soit $f: A \rightarrow {\Bbb R}$. 

• Une fonction est croissante sur $A$ si $\forall (x,y) \in A^2$, $x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)$.
• Une fonction est strictement croissante sur $A$ si $\forall (x,y) \in A^2$, $x < y \Rightarrow f(x) < f(y)$.
• Une fonction est décroissante sur $A$ si si $\forall (x,y) \in A^2$, $x \le y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$.
• Une fonction est strictement décroissante sur $A$ si si $\forall (x,y) \in A^2$, $x < y \Rightarrow f(x) > f(y)$..
• Une fonction est monotone sur $A$ si elle est soit croissante soit décroissante sur $A$.
• Une fonction est strictement monotone sur $A$ si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur $A$.

4) Définition.

Soit $f:A \rightarrow {\Bbb R}$ une fonction définie sur la partie $A$ de ${\Bbb R}$.

Soit $B$ une partie de $A$.

• La fonction $f$ est majorée sur $B$ s'il existe une constante $M$ telle que $\forall x \in B$ telle que $f(x) \le M$. 
• La fonction $f$ est minorée sur $B$ s'il existe une constante $m$ telle que $\forall x \in B$ telle que $m \le f(x)$. 
• La fonction $f$ est bornée sur $B$ s'il existe une constante $K$ positive telle que $\forall x \in B$  $|f(x)| \le K$ ce qui est équivalent à dire $-K \le f(x) \le K$. 

Théorème :

$f$ est bornée sur $B$ si et seulement si $f$ est à la fois majorée et minorée sur $B$.

Exemple :

La fonction $\sin$ est bornée sur ${\Bbb R}$. La fonction $x \mapsto e^x$ n'est pas bornée sur ${\Bbb R}$ car elle tend vers l'infini quand $x$ tend vers l'infini. En revanche, elle est bornée sur ${\Bbb R}^-$ car $\forall x \le 0$, $0 < e^{x} \le e^{0}=1$ par croissance de la exponentielle d'une part et la positivité de l'exponentielle d'autre part.

5) Symétrie.

Définition.

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ de ${\Bbb R}$ centré en $0$.

Une fonction est paire si $\forall x \in I$, $f(-x) = f(x)$.

Une fonction est impaire si $\forall x \in I$, $f(-x) = -f(x)$.

Remarque :

• Si $f$ est paire, la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
• Si $f$ est impaire, la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'origine. 

6) La composée de deux fonctions.

Définition.

Soit $f: A \rightarrow {\Bbb R}$ et $g: B \rightarrow {\Bbb R}$. Si $f(A) \subset B$ alors on peut définir la composée $g \circ f$ par $\forall x \in A, (g \circ f )(x) = g(f(x))$. 

Remarque :

$f(A)$ est l'ensemble des $f(x)$ avec $x$ dans $A$.