1) Généralités
Définition : une courbe paramétrée est une fonction d'une partie $\rm A$ de ${\Bbb R}$ (en général un intervalle) dans ${\Bbb R}^2$ :
\[\begin{array}{cccc}
f & A
& \longrightarrow & {\Bbb R}^2\\
& t & \longmapsto & (x(t),y(t))
\end{array}.\]
La trajectoire ou le support de $f$ est l'ensemble des points du plan $\mathrm M(t)$ de coordonnées $f(t)=(x(t),y(t))$ lorsque $t$ décrit $\rm A$.
Exemple :
\[\begin{array}{cccc}
f &
[0,2\pi[ & \longrightarrow & {\Bbb R}^2\\
& t & \longmapsto & (\cos(t),\sin(t))
\end{array}.\]
La trajectoire de $f$ est le cercle unité.
Notation : la courbe paramétrée précédente se note plutôt de la façon suivante :
\[\left\{\begin{array}{cccc}
x(t) & =
& \cos(t)\\
y(t) & = & \sin(t)
\end{array}\right..\]
2) Vecteur vitesse et accélération
Définition : vecteur vitesse et accélération.
Le vecteur $f'(t) = (x'(t),y'(t))$ s'appelle le vecteur vitesse au point $\mathrm M(t)=(x(t),y(t))$ de paramètre $t$.
On note également $\displaystyle f'(t) = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}t}(t)$.
Le vecteur accélération est le vecteur $f^{(2)}(t) = (x''(t),y''(t))$.
Il se note aussi $\displaystyle f^{(2)}(t) = \frac{\mathrm{d^2} f}{\mathrm{d} t^2}(t)$.
Définition : on dit que $\mathrm M(t)$ est régulier si $f'(t) \neq0$. Sinon on dit que $\mathrm M(t)$ est un point stationnaire.
Exemple : on reprend le cercle unité
\[\left\{\begin{array}{cccc}
x(t) & =
& \cos(t)\\
y(t) & = & \sin(t)
\end{array}\right..\]
Le vecteur vitesse est $f'(t) = (x'(t),y'(t)) = (-\sin(t),\cos(t))$ et le vecteur accélération est $f''(t) = (x''(t),y''(t)) = -(\cos(t),\sin(t))$.
Dans cet exemple, on remarque que le vecteur vitesse est toujours non nul donc tous les points du cercle unité sont réguliers. On dit dans ce cas que la courbe est régulière.
On remarque dans cette exemple que le vecteur vitesse $f'(t)$ est orthogonal au vecteur $f(t) = \overrightarrow{\rm OM}(t)$ et que le vecteur accélération est l'opposé de ce vecteur. On dit que l'accélération est centripète.
Théorème : lorsque $\mathrm M(t)$ est point régulier, la courbe admet une droite tangente en $\mathrm M(t)$ dirigée par le vecteur vitesse $f'(t)$.
On admet que si la courbe $f$ est suffisamment dérivable et s'il existe un entier $k$ non nul tel que $f^{(k)}(t) = (x^{(k)}(t), y^{(k)}(t)) \neq (0,0)$ alors la tangente en $\mathrm M(t)$ est dirigée par le vecteur $f^{(k)}(t) = (x^{(k)}(t), y^{(k)}(t))$.
3) Changement de paramétrage
Reprenons l'exemple du cercle unité :
\[f:
\left\{\begin{array}{cccc}
x(t) & = & \cos(t)\\
y(t) & = & \sin(t)
\end{array}\right.\]
avec $t \in \mathrm I=[0,2\pi[$.
Si on définit :
\[g:\left\{\begin{array}{cccc}
x(t) & = & \cos(2t)\\
y(t) & = & \sin(2t)
\end{array}\right.\] avec $t \in \rm J=[0,\pi[.$
Alors la trajectoire de $g$ est exactement la même que celle de $f$ à savoir le cercle unité. La seule différence c'est que le vecteur vitesse est $g'(t) = 2(-\sin(t),\cos(t)) = 2f'(t)$. Autrement dit le cercle unité est parcouru deux fois plus vite avec $g$ qu'avec $f$.
Posons :
\[\begin{array}{cccc}
\varphi :
& \rm J=[0,\pi[ & \longrightarrow & \rm I=[0,2\pi[\\
& t & \longmapsto & 2t
\end{array}.\]
L'application $\varphi$ est bijective et son application réciproque est :
\[\begin{array}{cccc}
\varphi^{-1}
&\rm I & \longrightarrow & \rm J\\
& t & \longmapsto & \displaystyle \frac{1}{2}t
\end{array}.\]
$\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (c'est-à-dire dérivable et de dérivée continue) sur $\rm I$ et son application réciproque est également de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\rm J$.
\[\forall t \in \rm J\text{, on a }g(t) = f(\varphi(t)).\]
On dit alors que $\varphi$ est un changement de paramétrage et que les courbes $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^1$- équivalente.
4) Point multiple
Définition : soit $f$ une courbe paramétrée. On dit qu'un point $\rm A$ de la trajectoire est un point muliple s'il existe au moins deux valeurs du paramètre $t_1$ et $t_2$ distinctes telles que $\mathrm A = \mathrm M(t_1) = \mathrm M(t_2)$. Si un point n'est pas multiple, on dit que $\rm A$ est simple.
Exemple : on considère de nouveau le cercle unité :
\[f:\left\{\begin{array}{ccc}
x(t) & = & \cos(t)\\
y(t) & = & \sin(t)
\end{array}\right.\] avec $t \in J=[0,2\pi].$
Le point $\rm A=(1,0)$ est un point double (atteint exactement deux fois par $f$) car $\mathrm A=f(0)=f(2\pi)$ ; les autres points sont simples.
5) Longueur d'une courbe
La longueur de la courbe du point $\mathrm M(t_1)$ au point $\mathrm M(t_2)$ est donnée par la formule
\[\displaystyle L = \int_{t_1}^{t_2}\left\|f'(t)\right\|{\mathrm d}t = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}{\mathrm d}t.\]
