Définition : il s'agit d'une équation du type $\alpha(x)y'+\beta(x) y = \gamma(x)$.
$\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont des fonctions données. $y$ est la fonction inconnue.
1) Méthode pour résoudre $\alpha(x)y'+\beta(x) y = \gamma(x)$
1ère étape :
On met éventuellement l'équation sous forme résolue c'est-à-dire le coefficient devant $y'$ est égal à $1$. On détermine le ou les intervalles de résolution.
Sur un intervalle sur lequel la fonction $x \mapsto \alpha(x)$ ne s'annule pas, l'équation à résoudre est équivalente en divisant par $\alpha(x)$ à :
\[(\mathrm E): y'+a(x) y =b(x) \left(\text{avec } \displaystyle{a(x) = \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}}\text{ et }\displaystyle{b(x) = \frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}}\right)\]
2ème étape :
On résout $(\mathrm E_0) : y'+a(x)y=0$, l'équation homogène associée, sur chaque intervalle de résolution $\rm I$. Les solutions de $\rm (E_0)$ sont données par $\displaystyle x \in \mathrm I \mapsto \lambda \mathrm e^{-\int a(x) {\rm d}x}$ avec $\lambda$ une constante réelle.
3ème étape :
On cherche une solution particulière de $\rm (E)$. Trois possibilités :
- La solution particulière est évidente.
- On utilise le principe de superposition des solutions. Si le second membre est compliqué et se décompose en $\lambda_1 b_1(x) + \lambda_2 b_2(x)$ alors le principe de superposition des solutions nous dit que si $y_1$ est une solution de l'équation $(\mathrm E_1): y'+a(x) y =b_1(x)$ et $y_2$ est une solution de l'équation $(\mathrm E_2): y'+a(x) y =b_2(x)$ alors la fonction $x \mapsto \lambda_1 y_1(x) + \lambda_2 y_2(x)$ est une solution de l'équation $\rm (E)$.
- On utilise la méthode de variation de la constante $\rm (MVC)$ qui consiste à chercher une solution particulière de $\rm (E)$ sous la forme $y(x) = \mu(x)y_0(x)$ avec $y_0(x)$ une solution de $\rm (E_0)$ et $\mu$ une fonction dérivable. On a alors $\displaystyle{\mu = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x}$.
4ème étape :
On écrit l'ensemble des solutions de $\rm (E)$. La théorie nous dit que les solutions de $\rm (E)$ s'obtiennent en additionnant toutes les solutions de $\rm (E_0)$ et une solution particulière de $\rm (E)$.
2) Exemple
a)
On considère $(\mathrm E) : (x-1)y'+xy = x$.
1ère étape :
$\rm (E)$ est une $\rm EDL$ du premier ordre homogène mais elle n'est pas sous forme résolue.
La fonction $x \mapsto x-1$ s'annule en $1$.
On considère l'intervalle $\rm I=]-\infty,1[$ ou $\rm I=]1,+\infty[$.
Sur $\rm I$, l'équation s'écrit sous forme résolue : $\displaystyle{(\mathrm E): y' + \frac{x}{x-1}y = \frac{x}{x-1}}$.
2ème étape :
On résout l'équation homogène associée : $\displaystyle{(\mathrm E_0) : y' + \frac{x}{x-1}y = 0}$.
On cherche sur $\rm I$, une primitive de la fonction $\displaystyle{a : x \mapsto \frac{x}{x-1}}$.
On a $\displaystyle \mathrm A(x) = \int \frac{x}{x-1} {\rm d}x =\int \frac{x-1+1}{x-1} {\rm d}x$ $\displaystyle = \int \left(1+\frac{1}{x-1}\right) {\rm d}x = x + \ln|x-1|$.
Les solutions de $\rm(E_0)$ sur $\rm I$ sont les fonctions $\displaystyle{y(x) = \lambda \mathrm e^{-\mathrm A(x)} = \lambda \mathrm e^{-(x+\ln|x-1|)}}$ $\displaystyle{= \lambda\frac{\mathrm e^{-x}}{|x-1|}}$ avec $\lambda \in {\Bbb R}$.
On peut enlever les valeurs absolues selon que $\rm I=]-\infty,1[$ ou $\rm I=]1,+\infty[$.
Sur l'intervalle $\rm I=]-\infty,1[$, $\displaystyle{y(x) = \lambda \frac{\mathrm e^{-x}}{1-x}}$.
Sur l'intervalle $\rm I=]1,+\infty[$, $\displaystyle{y(x) = \lambda \frac{\mathrm e^{-x}}{x-1}}$.
3ème étape :
Une solution particulière évidente est $x \mapsto 1$.
4ème étape :
Sur l'intervalle $\rm I=]-\infty,1[$, les solutions de $\rm (E)$ sont donc les fonctions $\displaystyle{y(x) = 1+\lambda \frac{\mathrm e^{-x}}{1-x}}$ avec $\lambda$ une constante réelle.
Sur l'intervalle $\rm I=]1,+\infty[$, les solutions de $\rm (E)$ sont les fonctions $\displaystyle{y(x) = 1+\lambda \frac{\mathrm e^{-x}}{x-1}}$ avec $\lambda$ une constante réelle.
b) On considère $(\textbf E) : (x-\textbf 1)y'+xy = \textbf 7x - \textbf{135} (x-\textbf 1)\textbf e^{-x}$.
L'équation sous forme résolue est $\displaystyle{(\mathrm E): y' + \frac{x}{x-1}y = 7\frac{x}{x-1}} -135\mathrm e^{-x}$ sur l'intervalle $\rm I=]-\infty,1[$ ou $\rm I=]1,+\infty[$.
L'équation homogène associée est la même que dans l'exemple précédent. On utilise le principe de superposition des solutions pour chercher une solution particulière de $\rm (E)$.
On définit les équations :
\[\displaystyle{(\mathrm E_1): y' + \frac{x}{x-1}y = \frac{x}{x-1}}\] et
\[\displaystyle{(\mathrm E_2): y' + \frac{x}{x-1}y = \mathrm e^{-x}}.\]
Nous avons déjà vu que $y=1$ est une solution particulière de $\rm (E_1)$.
Cherchons une solution de $\rm (E_2)$ par la méthode de variation de la constante. Posons $\displaystyle{y_0(x) = \frac{\mathrm e^{-x}}{|x-1|}}$ sur l'intervalle $\rm I=]-\infty,1[$ ou $\rm I=]1,+\infty[$.
On cherche une solution particulière sous la forme $y_p=\mu y_0$ avec $\mu$ une fonction dérivable. En injectant dans l'équation $\rm (E_2)$, on a $\displaystyle{\mu(x) = \int \frac{b(x)}{y_0(x)} {\rm d}x}$ avec $b(x)$ le second membre de $\rm (E_2)$.
C'est-à-dire $\displaystyle{\mu(x) = \int \frac{e^{-x}}{\frac{e^{-x}}{|x-1|}}{\rm d}x = \epsilon \int (x-1) {\rm d}x}$ avec $\epsilon =1$ si on est dans l'intervalle $]1,+\infty[$ car $|x-1|=x-1$ et $\epsilon =-1$ si on est dans l'intervalle $]-\infty,1[$ car $|x-1|=-x+1$.
On a donc $\displaystyle{\mu(x) = \epsilon \frac{(x-1)^2}{2}}$. Donc $\displaystyle{y_p(x) = \epsilon \frac{(x-1)^2}{2} \times \epsilon \frac{\mathrm e^{-x}}{(x-1)} = \frac{1}{2}(x-1)\mathrm e^{-x}}$.
D'après le principe de superposition des solutions, la fonction $\displaystyle{x \mapsto 7 - \frac{135}{2}(x-1)\rm e^{-x}}$ est une solution particulière de $\rm (E)$.
Sur l'intervalle $\rm I=]-\infty,1[$, les solutions de $\rm (E)$ sont les fonctions $\displaystyle{y(x) = 7 - \frac{135}{2}(x-1)\mathrm e^{-x}+\lambda \frac{\mathrm e^{-x}}{1-x}}$ avec $\lambda$ une constante réelle.
Sur l'intervalle $I=]1,+\infty[$, les solutions de $(E)$ sont les fonctions $\displaystyle{y(x) = 7 - \frac{135}{2}(x-1)e^{-x}+\lambda \frac{e^{-x}}{x-1}}$ avec $\lambda$ une constante réelle.
