Équation différentielle linéaire du 2nd ordre à coefficients constants

1) Définition

Soient $(a,b,c) \in {\Bbb R}^3$. On suppose que $a \neq 0$. 

Soit $\varphi: {\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R}$ ou ${\Bbb C}$ une fonction continue sur ${\Bbb R}$.

L'équation $(\mathrm E): ay''+by'+cy=\varphi(x)$ s'appelle une $\rm EDL$ du second ordre à coefficients constants.

La fonction $\varphi$ est une fonction de la forme suivante :

1. $x \mapsto \mathrm{Ae}^{\lambda x}$ avec $(\mathrm A,\lambda) \in {\Bbb C}^2$
2. $x \mapsto \mathrm B\cos(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$
3. $x \mapsto B\sin(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$

2) Méthode de résolution

1ère étape :

On résout l'équation homogène associée $(\mathrm E_0) : ay''+by'+cy=0$. On écrit l'équation caractéristique : $ar^2+br+c=0$. Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$ alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Les solutions de $\rm (E_0)$ sont de la forme $x\in {\Bbb R} \mapsto \lambda_1\mathrm e^{r_1x}+\lambda_2\mathrm e^{r_2x}$ avec $(\lambda_1,\lambda_2)\in{\Bbb R}^2$.
• Si $\Delta=0$ alors l'équation caractéristique admet une racine double $r_0$. Les solutions de $\rm (E_0)$ sont de la forme $x\in {\Bbb R} \mapsto \left(\lambda_1 x+\lambda_2\right)\mathrm e^{r_0 x}$ avec $(\lambda_1,\lambda_2)\in{\Bbb R}^2$.
• Si $\Delta<0$ alors les solutions de $\rm (E_0)$ sont de la forme $x\in {\Bbb R} \mapsto \mathrm e^{\alpha x}\left[A\cos(\beta x) + \mathrm B\sin(\beta x)\right]$ avec $\rm (A,B)\in{\Bbb R}^2$ et $\alpha=Re(r)$ et $\beta=\mathrm Im(r)$ où $r$ est l'une des racines complexes (non réelles) de l'équation caractéristique.

2ème étape :

On cherche une solution particulière de $\rm (E)$. 

Si le second membre est de la forme :

$x \mapsto \mathrm{Ae}^{\lambda x}$ avec $(\rm A,\lambda) \in {\Bbb C}^2$. On cherche une solution particulière sous la forme $y_p(x) =Q(x)\mathrm e^{\lambda x}$ avec $Q$ un polynôme à déterminer.

Si le second membre est de la forme :

$x \mapsto \mathrm B\cos(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$

$x \mapsto \mathrm B\sin(\omega x)$ avec $(\mathrm B,\omega) \in {\Bbb R}^2$

On cherche d'abord une solution particulière complexe $y_{p,c}$ de l'équation $(\mathrm E_c) : ay''+by'+cy = \mathrm{Be}^{i \omega x}$ puis $\mathrm {Re}(y_{p,c})$ est une solution particulière de $(\mathrm E) : ay''+by'+cy = \mathrm B\cos(\omega x)$ ou $\mathrm Im(y_{p,c})$ est une solution particulière de $(\mathrm E) : ay''+by'+cy = \mathrm B\sin(\omega x)$

3ème étape :

Les solutions de $(\mathrm E)$ s’obtiennent en additionnant toutes les solutions de $(\mathrm E_0)$ avec une solution particulière de $(\mathrm E)$.

3) Comme pour le premier ordre, on dispose d'un principe de superposition des solutions.

Soit $f_1$ une solution de l'$\rm EDL$ $(\mathrm E_1): ay''+by'+cy=\varphi_1(x)$.

Soit $f_2$ une solution de l'$\rm EDL$ $(\mathrm E_2): ay''+by'+cy=\varphi_2(x)$.

Alors $\lambda_1.f_1 + \lambda_2.f_2$ est une solution de $(\mathrm E): ay''+by'+cy = \lambda_1 \varphi_1(x) + \lambda_2 \varphi_2(x)$.

4) Exemple

Résolvons $(\mathrm E) : y''+ y = \cos x$

$(\mathrm E_0) : y''+y=0$ a pour équation caractéristique $r^2+1=0$ de discriminant $\Delta = -4<0$. Donc les solutions de $(\mathrm E_0)$ sont les fonctions du type $x \mapsto \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x$.

On introduit l'équation $(\mathrm E_1) : y''+ y = \mathrm e^{ix}$ car $\cos(x) = \mathrm e^{ix}$.

On cherche une solution particulière de $(\mathrm E_1)$ sous la forme $x \mapsto Q(x)\mathrm e^{ix}$ avec $Q$ un polynôme à coefficients complexes.

On a $\left\{\begin{array}{lll} y(x) & = & Q(x)\mathrm e^{ix}\\ y'(x) & = & \left[Q'(x) + i Q(x)\right]\mathrm e^{ix}\\ y''(x) & = & \left[Q''(x) + 2iQ'(x) - Q(x)\right]\mathrm e^{ix} \end{array}\right.$

On a donc $y''(x)+y(x) = \mathrm e^{ix} \iff \, (\star) \, Q''(x) + 2iQ' = 1$.

On cherche un polynôme de degré $1$: $Q(x)=ax+b$ est solution de l'équation $(\star)$ si et seulement si $\forall x \in {\Bbb R}$: $\displaystyle{2 i a = 1 \iff a=-\frac{i}{2}}$.

Une solution particulière de $(\mathrm E_1)$ est donc $\displaystyle{y: x\mapsto -\frac{i}{2}\mathrm e^{ix}}$. D’après un théorème, $\mathrm {Re}(y)$ une solution particulière de $(\mathrm E)$.

Or $\displaystyle{\mathrm {Re}(y):x\mapsto \frac{x}{2}\sin x}$.

Les solutions de $(\mathrm E)$ sont toutes les fonctions du type $\displaystyle{x \mapsto \frac{x}{2}\sin x + \mu_1 \cos x + \mu_2 \sin x}$ avec $(\mu_1, \mu_2) \in {\Bbb R}^2$.