Les différents systèmes de coordonnées

1) Coordonnées polaires (dans le plan)

Soit un repère $(\mathrm O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère orthonormé direct ce qui signifie que l'angle orienté entre les $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ est $\pi/2$ et ces vecteurs sont de longueur $1$ (on dit aussi de norme $1$).

Soit $\rm M$ un point du plan différent de l'origine. On note $\theta$ la mesure de l'angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{\rm OM}$.

On note $r=\rm OM$.

Le couple $(r,\theta)$ s'appelle les coordonnées polaires du point $\rm M$.

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Remarque : elles ne sont pas uniques. En effet, si par exemple, le point $\rm M$ a pour coordonnées polaires $\displaystyle{\left(2,\frac{\pi}{3}\right)}$ alors $\displaystyle{\left(2,\frac{\pi}{3}+2\pi\right) = \left(2,\frac{7\pi}{3}\right)}$ sont encore des coordonnées polaires de ce même point $\rm M$ (c'est-à-dire on peut ajouter ou retrancher un multiple entier de $2\pi$ à l'angle).

Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes. Soit $\rm M$ un point de coordonnées polaires $(r,\theta)$. Alors les coordonnées cartésiennes de $\rm M$ sont données par les formules $x = r\cos\theta$ et $y = r \sin \theta$.

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. Soit $\rm M$ un point différent de l'origine de coordonnées cartésiennes $(x,y)$. Prenons par exemple le point $\rm M$ de coordonnées cartésiennes $\left(\displaystyle 3,-3\sqrt{3}\right)$. On commence par calculer la distance $\rm OM$. On a $\rm \displaystyle OM = \sqrt{3^2 + \left(-3\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{9 + 27} = 6$. Ensuite on cherche un angle $\theta$ tel que $x = r\cos\theta$ et $y = r \sin \theta$ c'est-à-dire tel que $\displaystyle{\cos \theta = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$ et $\displaystyle{\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$. On peut prendre par exemple $\displaystyle{\theta = -\frac{\pi}{3}}$. Un couple de coordonnées polaires de $M$ est donc par exemple $\displaystyle{\left(6,-\frac{\pi}{3}\right)}$.

2) Coordonnées cartésiennes (dans l'espace)

Soit un repère $(\mathrm O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ de l'espace ce qui signifie que $\rm O$ est un point fixé du plan et $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ trois vecteurs non coplanaires (c'est-à-dire non contenus dans un même plan). Alors pour tout point $\rm M$, il existe un unique triplet de réels $(x,y,z)$ tel que $\overrightarrow{\rm OM} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$.

Le couple $(x,y,z)$ s'appelle les coordonnées cartésiennes du point $\rm M$ (ou du vecteur $\overrightarrow{\rm OM}$).

3) Coordonnées cylindriques (dans l'espace)

Soit l'espace muni d'un repère orthonormé direct. On considère un point $\rm M$ qui n'est pas sur l'axe $(\mathrm Oz)$.

On projette ce point $\rm M$ perpendiculairement sur le plan horizontal $(x\mathrm Oy)$. Notons $\rm H$ ce projeté.

Le point $\rm H$ a des coordonnées polaires dans le plan $(x\mathrm Oy)$ qui sont $(r,\theta)$. Alors le triplet $(r,\theta,z)$ s'appelle les coordonnées cylindriques du point $\rm M$.

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Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes. Soit $\rm M$ un point de coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$. Alors les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ de $\rm M$ sont données par les formules :

Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques. Soit $\rm M$ un point de coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ qui n'est pas sur l'axe $(\mathrm Oz)$. Alors les coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$ de $\rm M$ sont données par les formules :

4) Coordonnées sphériques (dans l'espace)

Soit l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(\rm O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère un point $\rm M$ de l'espace. On note $\rho$ la distance $\rm OM$ où $\rm O$ est l'origine du repère. On projette orthogonalement le point $\rm M$ sur le plan horizontal $(x\mathrm Oy)$. Notons $\rm H$ le projeté. L'angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{\rm OH}$ se note $\theta$ et s'appelle la longitude. On le prend entre $0$ et $2\pi$.

L'angle entre les vecteurs $\overrightarrow{k}$ et $\overrightarrow{\rm OM}$ se note $\varphi$ et s'appelle la colatitude et varie entre $0$ et $\pi$.

Le triplet $(\rho,\theta,\varphi)$ s'appelle les coordonnées sphériques du point $\rm M$.

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Le passage des coordonnées sphériques $(\rho,\theta,\varphi)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ est :

Remarque : au lieu d'utiliser la colatitude, on peut utiliser la latitude (comme le font les géographes) qui est l'angle $\displaystyle \delta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ entre le vecteur $\overrightarrow{\rm OH}$ et $\overrightarrow{\rm OM}$.

La longitude est toujours définie de la même façon mais on choisit $\theta$ dans $[-\pi,\pi]$.

Le triplet $(\rho,\theta,\delta)$ s'appelle encore les coordonnées sphériques du point $\rm M$.

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Dans ce cas, le passage des coordonnées sphériques $(\rho,\theta,\delta)$ aux coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ est :