Optique ondulatoire

1. Conditions d’interférences

La superposition de deux ondes lumineuses peut donner lieu à des interférences à condition que :

• Les deux ondes aient la même pulsation 
• Les deux ondes soient cohérentes entre elles.

En général, pour réunir ces conditions, on utilise une unique source lumineuse associée à un diviseur du front d'onde (fentes d'Young par exemple) ou associée à un diviseur d'amplitude (interféromètre de Michelson).

2. Différence de chemin optique

La différence de chemin parcouru par deux ondes interférentes est appelée « différence de chemin optique » et est notée $δ$.
Remarque : Si $δ=0$ les intensités lumineuses des deux ondes s'ajoutent normalement (comme s'il n'y avait pas d'interférences). 

3. Intensité lumineuse dans le cas d’une source ponctuelle monochromatique

L'intensité lumineuse en un point M est donnée par :
$\displaystyle \rm I(M) = I_0\left(1+\cos\left(\frac{2π}{λ}δ\left(M\right)\right)\right)$ avec $\lambda$ la longueur d'onde.

4. Caractérisation des franges brillantes et sombres

Les franges brillantes apparaissent dans le cas d'interférences constructives, c'est-à-dire dans le cas où l'intensité lumineuse est maximale. Ceci se produit si : 
$\displaystyle \rm \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\sigma \right)=1 \Longleftrightarrow \sigma = \cal p \lambda$ avec $p \in \rm Z$

Les franges sombres apparaissent dans le cas d'interférences destructives, c'est-à-dire dans le cas où l'intensité lumineuse est minimale. Ceci se produit si : 
$\displaystyle \rm \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\sigma\right) = -1$ $\displaystyle \Longleftrightarrow \sigma = \left(p + \frac{1}{2}\right)\lambda$ avec $p \in \rm Z$

La diffraction des ondes lumineuses est un phénomène qui se produit lorsque ces dernières rencontrent un obstacle ou une ouverture de dimension comparable à leur longueur d'onde. Ce phénomène de diffraction implique une déviation des ondes de telle sorte qu'au-delà de l'obstacle, elles se propagent dans des directions différentes.
La détermination de l'amplitude lumineuse diffractée par une ouverture repose sur le principe de Huygens Fresnel.

1.    Le principe de Huygens Fresnel

Soit $d\rm S$ un élément de surface élémentaire centré autour d'un point P d'une ouverture diffractante. Le principe de Huygens Fresnel postule que chaque point $\rm P$ de l'ouverture atteint par la lumière incidente se comporte comme une source secondaire fictive émettant une ondelette sphérique. De plus :

• L'ondelette émise a la même fréquence et la même phase que l'onde incidente.
• L'amplitude de l'ondelette émise est proportionnelle à l'amplitude de l'onde incidente.
• L'amplitude de l'ondelette émise est proportionnelle à $d\rm S$.
• Les vibrations issues des différentes sources secondaires sont cohérentes entre elles.

Ainsi, l'amplitude $\rm A(M)$ de la vibration lumineuse au point $\rm M$ d'un écran situé au-delà de l'obstacle est égale à la somme des amplitudes des vibrations émises par tous les éléments de surface $d\rm S$ dans la direction du point $\rm M$.

2.    La diffraction de Fraunhofer

La diffraction de Fraunhofer est aussi appelée diffraction à l'infini. C'est le cas particulier où l'ouverture diffractante est éclairée par une onde plane et où le point d'observation $\rm M$ est lui aussi à l'infini. Dans le cadre du programme, on se trouve toujours dans ce cas.

3.    Expression de l'amplitude diffractée

Dans le cas de la diffraction de Fraunhofer sous le principe de Huygens Fresnel, l'amplitude diffractée en un point M d'un écran d'observation s'écrit :

$\displaystyle \rm A(M)=C\int \int_\Sigma A(P)e^{−i.\vec{k}.\vec{OP}}\mathcal dS$ avec $\rm C$ une constante, $\Sigma$ l'ouverture diffractante, $\rm A(P)$ l'amplitude au point $\rm P$ de l'obstacle, $i$ le nombre complexe tel que $i^2=−1$ et $\vec{k}$ le vecteur d'onde de l'onde incidente.