Calcul différentiel

Soit $f:\Omega\subset \rm E\to F$ avec $\rm E, F$ des $\mathbb R$-espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit $\rm a\in\Omega$.

Méthode 1 : Etudier des applications différentiables

Définition :

Le développement limité de $f$ en $\rm a$ à l'ordre $1$ s'écrit :
$f(\mathrm {a+h})=f(\mathrm a)+ l(\rm h)+||h||\epsilon(h)$

Avec $\rm l\in\mathcal{L}(E,F)$ : application linéaire tangente à $f$ en $\rm a$.
$\rm \epsilon(h) \to 0_F$ quand $\rm h\to 0_E$.
On note $\rm \circ(h)=||h||\epsilon(h)$.

Définition :

$f$ est différentiable en $\rm a$ si $f$ admet un développement limité à l'ordre $1$ en $\rm a$.
L'application linéaire tangente à $f$ en $\rm a$ est également appelée différentielle de $f$ en $\rm a$ notée $\mathrm df(\rm a)$ avec $\mathrm df(\mathrm a)\cdot \mathrm h=[\mathrm df(\rm a)](h)$.
$f(\mathrm {a+h})= f(\mathrm a)+ df(\rm a)\cdot h +\circ(h)$ quand $\rm h\to 0_E$.

Théorème :

Si $f$ est différentiable en $\rm a$, alors $f$ est continue en $\rm a$.

Théorème :

Soit $f : \rm I\subset \mathbb R\to F$ et soit $\rm a\in I$.

Les propositions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est différentiable en $\rm a$
• $f$ est dérivable en $\rm a$.

$\mathrm df\mathrm {(a)(h)=h}\cdot f'(\rm a)$.
En particulier : $f'(\mathrm a)=\mathrm df(\rm a)\cdot 1$

Définition :

Une fonction $f:\Omega \subset \rm E \to F$ est différentiable si elle est différentiable en tout point $\rm a\in\Omega$.
$\mathrm df:\rm \Omega\to \mathcal{L}(E,F)$ est la différentielle de $f$.

Théorème :

Les fonctions différentiables sont continues.

Théorème :

Soient $f, g:\Omega\subset \rm E\to F$ et $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
Si $f, g$ différentiables, alors $\alpha f +\beta g$ est différentiable et
$\mathrm d(\alpha f+\beta g)=\alpha \mathrm df + \beta \mathrm dg$.

Théorème :

Soient $f : \rm \Omega\subset E \to F$ et $g:\Omega' \subset \rm F \to G$ avec $f(\Omega)\subset \Omega'$.
Si $f$ et $g$ sont différentiables, $g\circ f$ est différentiable et pour tout $\rm a\in \Omega$, $\mathrm d(g\circ f)(\mathrm a)=[\mathrm dg(f(\mathrm a))]\circ \mathrm df(\mathrm a)$.

Méthode 2 : Etudier la dérivation

Définition :

Soient $f:\Omega \subset \rm E\to F$ et $\rm a\in \Omega$.
$f$ est dérivable en $\rm a$ selon le vecteur $v$ si la fonction $\mathrm t\mapsto f(\mathrm {a+t}\cdot v)$ est dérivable en $0$.
Le vecteur dérivé de $f$ en $\rm a$ selon le vecteur $v$ est :

$$\mathrm D_vf(\mathrm a)=\displaystyle \lim_{\mathrm t\to 0}\frac{1}{\mathrm t}(f(\mathrm {a+t}\cdot v)-f(\rm a))$$

Théorème :

Si $f$ est différentiable en $\rm a$, alors $f$ est dérivable en $\rm a$ selon tout vecteur $v\in \rm E$ :

$$\mathrm D_vf(\mathrm a)=\mathrm df(\mathrm a)\cdot v$$

Définition :

Soient $f : \Omega\subset \rm E\to F$ et $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $\rm E$. Soit $\rm a\in \Omega$.
Le vecteur dérivé de $f$ en $\rm a$ selon le vecteur $\rm e_i$ (ou $\rm i^{ème}$ dérivé partiel de $f$ dans la base $\rm e$) est $\partial_\mathrm i f\mathrm {(a)=D_{e_i}}f(\mathrm a)=\displaystyle \lim_{\mathrm t\to 0}\frac{1}{\mathrm t}(f(\mathrm {a+t\cdot e_i})-f(\rm a))$.

Théorème :

Si $f:\Omega\subset \rm E \to F$ est différentiable, alors les dérivées partielles de $f$ dans la base de $\rm E$ $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ existent et pour tout $\rm a\in\Omega$ :
$\partial_\mathrm i f(\mathrm a)=\mathrm df\mathrm {(a)\cdot e_i}$
Pour tout $\rm h=\displaystyle \sum_{i=1}^n h_i\cdot \mathrm e_i$

$$\mathrm df(\mathrm a)\cdot h=\mathrm D_h f(\mathrm {a)=\displaystyle \sum_{i=1}^n h_i \cdot \partial_i} f(\rm a)$$

Théorème :

Cas $\rm E=\mathbb R^n$
Soit $f:\rm \Omega\subset \mathbb R^n \to F$ telle que $f : x=(x_1,\ldots,x_{\mathrm n})\mapsto f(x_1,\ldots,x_{\rm n})$.
Soit $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ base canonique de $\rm \mathbb R^n$.

$\partial_{\mathrm i} f(x)$ $=\displaystyle \frac{d}{\mathrm dx_{\mathrm i}}(f(x_1,\ldots,x_{\mathrm n}))$ $\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_{\mathrm i}}(x_1,\ldots,x_{\rm n})$

Théorème :

Soit $f:\Omega\subset \rm E \to F$ différentiable en $x\in\Omega$ avec $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ et $\rm e'=(e_1',\ldots,e_m')$ respectivement les bases de $\rm E$ et $\rm F$.
La matrice jacobienne de $f$ en $x$ est la matrice de $\mathrm df(x)$ :
$$\mathrm{Jac} \quad f(x)=\left(\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x)\ldots \frac{\partial f_1}{\partial x_\mathrm n}(x)\\ \ldots \qquad \ldots\\ \displaystyle\frac{\partial f_\mathrm m}{\partial x_1}(x)\ldots \frac{\partial f_\mathrm m}{\partial x_\mathrm n}(x) \end{array}\right)$$
Avec les $f_{\rm i}$ fonctions coordonnées de $f$.
Le déterminant de la matrice est appelé Jacobien.

Théorème :

Soient $f, g : \Omega\subset \rm E$ et $\alpha, \beta \in\mathbb R$.
Si $f$ et $g$ admettent des dérivées partielles, alors $\alpha f + \beta g$ est différentiable et $\partial_{\mathrm i} (\alpha f + \beta g)=\alpha \partial_{\mathrm i} f + \beta \partial_{\mathrm i} g$.

Théorème :

Soient $f : \Omega\subset \rm E\to F$ et $g : \Omega'\subset \rm F\to G$ avec $f(\Omega)\subset \Omega'$.
Soient $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$ et $\rm e'=(e_1',\ldots,e_m')$ les bases respectivement de $\rm E$ et $\rm F$.
Soit $x=(x_1,…,x_{\rm n})\in \rm E$ et $y=(y_1,…,y_{\rm m})\in \rm F$.
Si $f$ et $g$ sont différentiables alors :

$\displaystyle\frac{\partial (g\circ f)}{\partial x_\mathrm i}(\mathrm a)=\displaystyle \sum_{\mathrm {k=1}}^\mathrm m \frac{\partial f_\mathrm k}{\partial x_\mathrm i}(\mathrm a) \frac{\partial g}{\partial y_\mathrm k}(f(\mathrm a))$

Méthode 3 : Etudier la classe d'une fonction

Définition :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to F$.

$f$ est de classe $\rm C^1$

• Si $f$ est différentiable sur $\Omega$ et $\mathrm df$ est continue sur $\Omega$.

Ou de façon équivalente :

• Si les dérivées partielles de $f$ relativement à une base de $\rm E$ existent en tout point de $\Omega$ et sont continues sur $\Omega$.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to F$ une application de classe $\rm C^1$.
Si $\gamma :[0 ~;1]\to \Omega$ est un arc de classe $\rm C^1$ d'extrémités $\rm a=\gamma(0)$ et $\rm b=\gamma(1)$ alors $f(\mathrm b)-f(\mathrm a)=\displaystyle\int_0^1 \mathrm df(\rm \gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt$.

Définition :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to F$.
$f$ est appelée dérivée partielle d'ordre $0$ de $f$.
Pour $\rm k\in\mathbb N$, si elles existent, on appelle dérivées partielles de $f$ d'ordre $\rm k+1$ les dérivées partielles des dérivées partielles d'ordre $\rm k$ de $f$.

Définition :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to F$.
$f$ est de classe $\rm C^k$ si ses dérivées partielles d'ordre $\rm k$ existent et sont continues.
$f$ est de classe $\rm C^{\infty}$ si pour tout $\rm k\in\mathbb N$, $f$ est de classe $\rm C^k$.

Théorème :

Soient $f,g : \Omega\subset \rm E\to F$ et $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
Soit $\rm k\in\mathbb N \cup \{+\infty\}$.
Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^k$, $\alpha f + \beta g$ est de classe $\rm C^k$.

Théorème :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to F$.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $f$ est de classe $\rm C^k$
• Les fonctions coordonnées de $f$ dans une base de $\rm F$ sont de classe $\rm C^k$

Théorème :

Soient $f : \Omega\subset \rm E\to F$ et $g : \Omega'\subset \rm F\to G$ avec $f(\Omega)\subset \Omega'$.
Si $f$ et $g$ sont de classe $\rm C^k$ alors $g\circ f$ est de classe $\rm C^k$.

Théorème de Schwarz :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to F$.
Si $f$ est de classe $\rm C^2$, pour tous $\rm i,~j\in \{1,\ldots,n\}$,
$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_\mathrm i \partial x_\mathrm j}=\frac{\partial^2 f}{\partial x_\mathrm j\partial x_\rm i}$

Méthode 4 : Applications en calcul différentiel

Définition :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to \mathbb R$ différentiable.
$f$ admet un point critique en $\rm a\in\Omega$ si $df(\rm a)=0$.

Théorème :

Si $f : \Omega\subset \rm E\to \mathbb R$ différentiable admet un extremum local en $\rm a\in\Omega$ alors $\rm a$ est un point critique de $f$. La réciproque est fausse.

Remarque :

Soit $f : \Omega\subset \rm E\to \mathbb R$.
$f$ admet un minimum local en $\rm a\in\Omega$ s'il existe $\alpha>0$, tel que pour tout $x\in \Omega \cap \rm B(a,\alpha)$, $f(x)\geq f(\rm a)$.

En pratique, pour obtenir des extremums locaux, on commence par rechercher les points critiques (par exemple le point $\rm a$) puis on étudie ceux-ci (par exemple avec le signe de $f(x)-f(\rm a)$).

Théorème :

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles d'ordre $\bf 1$ : $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=0$ sont les fonctions $f:\Omega_1\times \Omega_2 \to \mathbb R$ de classe $\rm C^1$, telles que $f : (x, y)\mapsto \mathrm C(y)$ avec $\rm C\in C^1(\Omega_2,\mathbb R)$ ($\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont des intervalles de $\mathbb R$ ouverts et non vides).

Théorème :

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles d'ordre $\bf 2$ :
$\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)=0$ sont les fonctions $f:\Omega_1\times \Omega_2 \to \mathbb R$ de classe $\rm C^2$, telles que $f : (x,y)\mapsto x\mathrm C(y)+\mathrm D(y)$ avec $\rm C, D \in C^2(\Omega_2,\mathbb R)$.

Théorème :

Les solutions de l'équation aux dérivées partielles d'ordre $\bf 2$ :
$\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=0$ sont les fonctions $f:\Omega_1\times \Omega_2 \to \mathbb R$ de classe $\rm C^2$, telles que $f : (x,y)\mapsto \mathrm C(x)+\mathrm D(y)$ avec $\rm C\in C^2(\Omega_1,\mathbb R)$ et $\rm D \in C^2(\Omega_2,\mathbb R)$.