Dans ce qui suit, l’anneau commutatif $\rm A$ est supposé intègre.
Définitions : Soit $\rm a,b\in A$.
On dit que $\rm b$ divise $\rm a$ ($\rm b|a$) ou $\rm a$ est un multiple de $\rm b$ s’il existe $\rm c\in A$ tel que $\rm a=bc$.
On dit que $\rm a$ et $\rm b$ sont associés si $\rm a|b$ et $\rm b|a$.
Définitions : Un élément non nul et non inversible est dit irréductible si tous ses diviseurs sont inversibles ou lui sont associés.
L’élément non nul et non inversible $\rm a\in A$ est dit premier si $\rm a=bc$ (avec $\rm b,c\in A$) entraîne $\rm a|b$ ou $\rm a|c$.
Propriété : Tout élément premier de $\rm A$ est irréductible.
Remarque : en général, la réciproque est fausse.
Définitions : Les éléments $\rm a,b\in A$ sont premiers entre eux si tous leurs diviseurs communs sont inversibles.
Les éléments $\rm a,b\in A$ sont étrangers s’il existe $u,v\in \rm A$ tel que $\mathrm au+\mathrm bv=1$.
Propriété : Deux éléments étrangers sont premiers entre eux.
