Dans ce qui suit, l’anneau commutatif A est supposé intègre.

Définitions : Soit a,b∈A.

On dit que b divise a (b|a) ou a est un multiple de b s’il existe c∈A tel que a=bc.

On dit que a et b sont associés si a|b et b|a.

Définitions : Un élément non nul et non inversible est dit irréductible si tous ses diviseurs sont inversibles ou lui sont associés.

L’élément non nul et non inversible a∈A est dit premier si a=bc (avec b,c∈A) entraîne a|b ou a|c.

Propriété : Tout élément premier de A est irréductible.

Remarque : en général, la réciproque est fausse.

Définitions : Les éléments a,b∈A sont premiers entre eux si tous leurs diviseurs communs sont inversibles.

Les éléments a,b∈A sont étrangers s’il existe u,v∈A tel que au+bv=1.

Propriété : Deux éléments étrangers sont premiers entre eux.