Espaces hermitiens

Soit $\it E$ un espace préhilbertien complexe muni d’une forme hermitienne $\it (\cdot|\cdot)$.

Définition : soit $(x,y)\in \rm E^2$,

Les vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si $(x|y)=0$. On note $x \bot y$.

Définitions :

Soit $(x_{\rm i})_{\rm i}$ une famille d’éléments de $\rm E$.

• $(x_{\rm i})_{\rm i}$ est une famille orthogonale de $\rm E$ si les éléments de la famille sont deux à deux orthogonaux.
• $(x_{\rm i})_i$ est une famille orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ si les éléments de la famille sont unitaires ou normés $(||x_{\rm i}||=1)$ et deux à deux orthogonaux.

Propriété : Toute famille orthogonale finie de vecteurs non nuls est libre.

Propriété :

Si $(x_1,\dots,x_{\rm n})$ est une famille orthogonale finie de vecteurs de $\rm E$, on a la relation de Pythagore : $||\displaystyle\sum_{\rm k=1}^{\rm n} x_{\rm k}||^2=\sum_{\rm k=1}^{\rm n}||x_{\rm k}||^2$.

Définition : Soit $\rm A$ une partie de $\rm E$.

L’orthogonal de $\rm A$ noté $\rm A^{\bot}$ est l’ensemble des vecteurs $x$ de $\rm E$ tels que pour tout $\rm a\in A$, $(x|\rm a)=0$.

Proposition : Soit $\rm A$ et $\rm B$ parties de $\rm E$ telles que $\rm A\subset B$.

Alors $\rm B^{\bot}\subset A^{\bot}$ et $\rm A^{\bot}=(Vect A)^{\bot}$.

Propriété : Soit $\rm A$ partie de $\rm E$.
$\rm A^{\bot}$ est un sous-espace vectoriel de $\rm E$.

Proposition : Pour tout sous-espace vectoriel $\rm F$,

• $\rm F\subset (F^{\bot})^{\bot}$
• $\rm {F\cap F^{\bot}=\{\vec{0}\}}$
• $\rm E^{\bot}=\{\vec{0}\}$

Définition : Deux sous-espaces vectoriels de $\rm E$ sont orthogonaux si tout vecteur de l’un est orthogonal à tout vecteur de l’autre.

Propriété : Des sous-espaces vectoriels deux à deux orthogonaux sont en somme directe.

Proposition : Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$ de dimension finie.

Alors $\rm F$ et $\rm F^{\bot}$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\rm E$.

Dans la suite, on considère que $\it E$ est un espace hermitien de dimension $\it n$.

Définition :

• Une base orthogonale de $\rm E$ est une famille orthogonale qui en est une base.
• Une base orthonormale ou orthonormée de $\rm E$ est une famille orthonormale ou orthonormée qui en est une base.

Propriété : Tout espace hermitien, non réduit au vecteur nul, admet au moins une base orthonormale.

Propriété : Toute famille orthonormale d’un espace hermitien se complète en une base orthonormale.

Théorème :

Soit $\rm (e_i)_{i=1\dots n}$ une base orthonormée de $\rm E$ et soit $x,y\in \rm E$.

• $x=\displaystyle\sum_{\rm k=1}^{\rm n} ({\rm e_k}|x) \rm e_k$
• $||x||^2=\displaystyle\sum_{\rm k=1}^{\rm n} |({\rm e_k}|x)|^2$
• $(x|y)= \displaystyle\sum_{\rm k=1}^n \overline{({\rm e_k}|x)}({\rm e_k}|y)$

Propriété : Tout sous-espace vectoriel de $\rm E$ est un espace vectoriel hermitien.

Théorème :

Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$.

• $\rm {F+F^{\bot}=E}$
• $\rm {F\cap F^{\bot}=\{\vec{0}\}}$
• $\rm \dim(F^{\bot})=\dim(E)-\dim(F)$