Fonctions d’une variable complexe

Définition : Soit $\rm U$ une partie de $\mathbb C$.

Une fonction d’une variable complexe est une application $f : \rm U\to \mathbb C$.

$f(x+\mathrm iy)=u(x,y)+\mathrm iv(x,y)$ où $u$ et $v$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Exemple : $f:\mathbb C\to\mathbb C$ définie par $f(x+\mathrm iy)=x^2+y^2-4\mathrm ixy$.

Définition : Soit $z_0\in \rm U$.

$f$ tend vers une limite $l$ quand $z\to z_0$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $\mu(\epsilon)\in\mathbb R^+$ tel que $|z-z_0|<\mu$ implique $|f(z)-l|<\epsilon$.

Définition : $f$ admet une limite $l$ quand $|z|$ tend vers $+\infty$ si pour tout $\epsilon>0$, il existe $\rm A(\epsilon)\in\mathbb R^+$ tel que $|z|>\rm A$ implique $|f(z)-l|<\epsilon$.

Définition : Soit $z_0\in\mathbb C$. Soit $f$ définie sur un voisinage de $z_0$.

$f$ est continue en $z_0$ si $f$ admet une limite finie en $z_0$ et $\displaystyle\lim_{z\to z_0}f(z)$ coïncide avec $f(z_0)$.

Proposition : $f$ est continue si et seulement les fonctions $u$ et $v$ (avec $f(x+\mathrm iy)=u(x,y)+\mathrm iv(x,y)$) sont continues.

Définition : Soit $z_0\in\mathbb C$. Soit $f$ une fonction définie et continue sur un voisinage de $z_0$. $f$ est dérivable en $z_0$ si $\displaystyle\frac{ f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ admet une limite quand $z$ tend vers $z_0$. Cette limite est notée $f’(z_0)$.

Proposition : Condition de Cauchy-Riemann

Soit $f=u+\mathrm iv$ une fonction définie et continue sur un voisinage de $z_0$. Si $f$ est dérivable en $z_0=x_0+\mathrm iy_0$, alors $u$ et $v$ admettent en $(x_0~ ;~y_0)$ des dérivées partielles par rapport à chacune de leurs variables et : $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

Proposition : Soit $f=u+\mathrm iv$. Si les fonctions $u$ et $v$ admettent des dérivées partielles premières continues sur un voisinage de $z_0$ et si ces dérivées vérifient les relations de Cauchy-Riemann en $z=z_0$, alors $f$ est dérivable en $z_0$.

Définition : Une fonction est holomorphe (ou analytique) dans un ouvert $\rm U$ de plan complexe si et seulement si elle est dérivable en tout point de $\rm U$.

Proposition : Soit $f$ une fonction analytique sur un domaine $\Omega$. Si $u$ et $v$ sont de classe $\rm C^2$ sur $\Omega$, alors $u$ et $v$ vérifient l’équation de Laplace sur $\Omega$ :

$\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=0 \\ \displaystyle\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2v}{\partial y^2}=0 \end{array}\right.$

Définition : Une fonction entière est une fonction analytique sur $\mathbb C$ tout entier.

Exemple : $f(z)=\exp z$ est une fonction entière.

Proposition : Soit $f$ une fonction analytique sur un domaine $\Omega$.

Alors $f$ est de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\Omega$.

Définitions : Soit $z_0\in\mathbb C$. Si $f$ est analytique sauf au voisinage de $z_0$, $z_0$ est un point singulier de $f$.

Soit $z_0$ un point singulier de $f$. S’il existe un disque ouvert de centre $z_0$ (mais privé de $z_0$) et de rayon $\rm r>0$, pour lequel $f$ est analytique, alors $z_0$ est un point singulier isolé de $f$.

Si quand $|z|$ tend vers $|z_0|$, $|f(z)|$ tend vers l'infini, $z_0$ est un pôle de la fonction $f$.

Définition : Une fonction, qui ne possède pas d’autres singularités que des pôles dans un domaine $\Omega$, est méromorphe dans $\Omega$.