Groupes

Méthode 1 : Montrer que $\bf (G,\star)$, avec $\bf G$ un ensemble et $\bf \star$ une loi de composition interne, est un groupe.

• Utiliser la définition d’un groupe :

$\star$ est associative : pour tous $\rm a,b,c \in G$, $\rm (a \star b) \star c= a \star (b \star c)$

$\star$ possède un élément neutre unique : il existe $\rm e\in G$, tel que pour tout $\rm a\in G$, $\rm a \star e = a = e \star a$

Tout élément de $\rm G$ est symétrisable par $\star$ : pour tout $\rm a \in G$, il existe $\rm b \in G$ tel que $\rm a \star b= e =b \star a$. $\rm b$ est unique et appelé symétrique de $\rm a$ noté $\rm a^{-1}$, appelé aussi inverse de $\rm a$. Si la loi est notée $+$, le symétrique est appelé opposé et noté $-x$.

• Identifier $\rm G$ comme un produit de groupes :

Soient $\rm (G_1,\star_1),\ldots,(G_n,\star_n)$ des groupes avec pour éléments neutres $\rm e_1,\dots,e_n$, alors $\rm G=G_1 \times \ldots \times G_n$ muni de la loi produit $\star$ (définie par $(x_1,\ldots,x_{\rm n}) \star (y_1,\dots,y_{\rm n})=(x_1\star y_1,\ldots,x_{\rm n}\star y_{\rm n})$) est un groupe de neutre $\rm e=(e_1,\ldots,e_n)$.

• Identifier $\rm G$ comme un groupe connu :

Les groupes $(\mathbb C,+)$, $(\mathbb R, +)$, $(\mathbb Z, +)$ sont des groupes abéliens (commutatifs) de neutre $0$.

Les groupes $(\mathbb C^*,\times)$, $(\mathbb R^*,\times)$ sont des groupes abéliens de neutre $1$.

Le groupe $\rm (\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$ est un groupe abélien de neutre $\bar{0}$.

• Identifier $\rm G$ comme le sous-groupe d’un groupe :

Soit $\rm (H,\star)$ un groupe.
Si $\rm G$ est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$, alors $\rm (G,\star)$ est un groupe de même neutre.

Remarque : $\rm G$, partie de $\rm H$, est un sous-groupe de $\rm (H,\star)$ si :

• • $\rm e\in G$
  • Pour tous $x,y \in \rm G$, $x\star y^{-1}\in \rm G$

Remarque : Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $\rm n\mathbb Z$ avec $\rm n\in \mathbb N$.

Propriété : L’intersection de sous-groupes est un groupe.

Méthode 2 : Montrer que $\varphi$ est un morphisme avec $\bf \varphi : G\to G’$ et $\bf (G,\star)$ et $\bf (G’,T)$ deux groupes.

• Utiliser la définition d’un morphisme :

Pour tous $x,y \in \rm G$, $\varphi(x\star y)=\varphi(x)\mathrm T\varphi(y)$.

Remarques : Un morphisme d’un groupe vers lui-même est appelé endomorphisme.
Un isomorphisme de groupes est un morphisme bijectif.
Un isomorphisme de groupes vers lui-même est appelé automorphisme.

• Identifier une composition de morphismes :

Soient $\rm \varphi :G\to G’$ et $\rm \psi :G’\to G’’$ deux morphismes de groupes.
Alors $\rm \psi \circ \varphi:G \to G''$ est un morphisme de groupes.

• Identifier des morphismes connus :
  • fonction $\ln$ est un morphisme de $(\mathbb R^{+*},\times)$ vers $(\mathbb R,+)$
  • Le déterminant est un morphisme de $\rm (GL_n(\mathbb K),\times)$ vers $(\mathbb K^*,\times)$

Méthode 3 : Etudier le noyau et l’image d’un morphisme

Soit $\rm \varphi : (G,\star)\to (G’,T)$ un morphisme de groupes.

• • $\rm \ker \varphi=\varphi^{-1}(\{e’\})$
    $\rm Im \varphi =\varphi(G)$
  • Remarque : $\rm \ker \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G,\star)$ et $\rm Im \varphi$ est un sous-groupe de $\rm (G’,T)$.
  • $\varphi$ est injectif si et seulement si $\rm \ker \varphi=\{e\}$
    $\varphi$ est surjectif si et seulement si $\rm Im \varphi=G’$

Méthode 4 : Etudier l’ordre des éléments d’un groupe

Définition : Soit $\rm G$ un groupe muni d’une loi multiplicative d’élément neutre $\rm e$.
Un élément $\rm a$ de $\rm G$ est d’ordre fini s’il existe un entier $\rm k>0$ tel que $\rm a^k=e$. 
L’ordre de $\rm a$ est le plus petit entier $\rm m>0$ tel que $\rm a^m=e$.