Définition : Soit G un groupe et X un ensemble.

On définit une action à gauche de G sur X par la fonction : α:G×X→X tel que α(g,x)=gx qui vérifie :

  • (gh)x=g(hx) pour tous g,h∈G, x∈X.
  • 1x=x pour tout x∈X.

Remarque : De façon analogue, on définit une action à droite de X×G vers X par (x,g)→xg tel que x(gh)=(xg)h et x1=x.

Propriété : Si G est commutatif, toute action à droite est aussi une action à gauche.

Définition : Soit X un ensemble sur lequel G définit une action de groupes.

  • Pour tout x∈X, on définit le stabilisateur de x dans G par : Gx:={g∈G/gx=x}.
  • Pour tout x∈X, on définit l’orbite de x sous G (notée aussi Ox) par : Gx:={gx/g∈G}.

Proposition : Soit X un ensemble sur lequel G définit une action de groupes.

Soit x∈X.

  • Gx est un sous-groupe de G.
  • Pour tout g∈G, Ggx=gGxg−1.

Définition : Soit G un groupe et H un sous-groupe de G.

H est distingué (ou normal) si pour tout g∈G et pour tout h∈H, l’élément ghg−1 est dans H.

Un groupe est simple si ses seuls sous-groupes distingués sont {1} et G.

Exemples : {1} et G sont des sous-groupes distingués.
Z/pZ est simple si p est un nombre premier.

Définition : Soit G un groupe et H un sous-groupe de G distingué.

On définit sur G la relation d’équivalence :

Pour tous x,y∈G, xRy⇔xy−1∈H.

En notant ˉx∈G/H, la classe d’équivalence de x sur G, on a : pour tous x,y∈G, ˉx×ˉy=¯x×y.

Théorème : G/H est un groupe appelé groupe quotient de G par H.

Proposition : Si G est abélien, G/H l’est aussi.

Théorème de Lagrange : Soit G un groupe fini.

Si H est un sous-groupe de G, alors le cardinal de H divise celui de G.

En notant |G/H| le cardinal de G/H (appelé aussi indice de H dans G), on obtient |G|=|H|×|G/H|.

Proposition : Si G et G′ sont deux groupes et que f:G→G′ est un morphisme de groupes, alors le noyau de f est un sous-groupe normal de G.

Théorème d’isomorphisme : Soit G,G′ deux groupes et f:G→G′ un morphisme de groupes.

Alors il existe un isomorphisme ˉf:G/Kerf→Imf.