Définition : La tribu produit A⊗B est la tribu de X×Y engendrée par les pavés c’est-à-dire les produits de mesurables A×B pour A∈A et B∈B : A⊗B=σ(P) où P={A×B/A∈A ;B∈B}.
Exemple : La tribu borélienne B(R2) de R2 est le produit de la tribu borélienne sur R avec elle-même. Elle est engendrée par les produits d’intervalles ouverts ]a ;b[×]c,d[.
Proposition : Soient (X,A,μ) et (Y,B,ν) deux espaces mesurés avec des mesures μ et ν σ-finies.
Il existe une unique mesure, la mesure produit, notée μ⊗ν sur A⊗B telle que (μ⊗ν)(A×B)=μ(A)ν(B) avec A∈A et B∈B.
Exemple : La mesure de Lebesgue sur B(Rn) est λn=λ⊗…⊗λ.
Théorème de Fubini-Tonelli :
Soit f:(X×Y,A⊗B)→[0 ;+∞] une fonction mesurable positive, avec μ et ν des mesures σ-finies sur (X,A) et (Y,B). Alors :
- x↦∫Yfxdν est A-mesurable
- y↦∫Xfydμ est B-mesurable
- ∫X×Yfd(μ⊗ν)
Avec et .
Théorème de Fubini :
Soit ou -intégrable, avec et des mesures -finies sur et .
Alors :
- Pour -presque chaque , est -intégrable.
- Pour -presque chaque , est -intégrable.
- est -mesurable et -intégrable.
- est -mesurable et -intégrable.
- .
Remarque : en pratique, on vérifie que est intégrable en utilisant le théorème Fubini-Tonelli puis on applique le théorème de Fubini.
Définition : Soit avec et des ouverts.
La fonction est un difféomorphisme si est une bijection de classe dont la bijection réciproque est de classe .
Définition : La matrice jacobienne de (difféomorphisme) en est
Avec .
Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne.
Théorème du changement de variables :
Soient des ouverts de et un difféomorphisme de classe de matrice jacobienne .
Soit intégrable. Alors :
.
Exemple : Changement de variables en coordonnées polaires :
avec et .
Donc .