Définition : La tribu produit $\mathcal A \otimes \mathcal B$ est la tribu de $\rm X\times Y$ engendrée par les pavés c’est-à-dire les produits de mesurables $\rm A\times B$ pour $\rm A\in\mathcal A$ et $\rm B\in\mathcal B$ : $\rm \mathcal A \otimes \mathcal B=\sigma (\mathcal P)$ où $\rm \mathcal P=\{A\times B/A\in\mathcal A ~; B\in\mathcal B\}$.

Exemple : La tribu borélienne $\mathcal B(\mathbb R^2)$ de $\mathbb R^2$ est le produit de la tribu borélienne sur $\mathbb R$ avec elle-même. Elle est engendrée par les produits d’intervalles ouverts $\rm]a~ ;b[\times ]c,d[$.

Proposition : Soient $\rm (X,\mathcal A,\mu)$ et $\rm (Y,\mathcal B, \nu)$ deux espaces mesurés avec des mesures $\mu$ et $\nu$ $\sigma$-finies. 
Il existe une unique mesure, la mesure produit, notée $\mu\otimes \nu$ sur $\mathcal A \otimes \mathcal B$ telle que $\rm (\mu \otimes \nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$ avec $\rm A\in\mathcal A$ et $\rm B\in\mathcal B$.

Exemple : La mesure de Lebesgue sur $\mathcal B(\mathbb R^n)$ est $\lambda_{\rm n}=\lambda\otimes\ldots\otimes\lambda$.

Théorème de Fubini-Tonelli :

Soit $f : \rm (X\times Y, \mathcal A\otimes \mathcal B)\to [0~ ;+\infty]$ une fonction mesurable positive, avec $\mu$ et $\nu$ des mesures $\sigma$-finies sur $\rm (X,\mathcal A)$ et $\rm (Y,\mathcal B)$. Alors :

  • $\displaystyle x\mapsto \int_{\rm Y} f_x \rm d\nu$ est $\mathcal A$-mesurable
  • $\displaystyle y\mapsto \int_{\rm X} f^y \rm d\mu$ est $\mathcal B$-mesurable
  • $\displaystyle \int_{\rm X\times Y}f \rm d(\mu\otimes\nu)$ $\displaystyle=\int_{\rm X} \Big(\int_{\rm Y} f_x \rm d\nu\Big)dμ$ $\displaystyle =\int_{\rm Y} \left(\int_{\rm X} f^y \rm d\mu\right)d\nu$

Avec $f_x :y\mapsto f(x,y)$  et $f^y :x\mapsto f(x,y)$.

Théorème de Fubini :

Soit $f : \rm (X\times Y, \mathcal A\otimes \mathcal B)\to \mathbb R$ ou $\mathbb C$ $(\mu\otimes \nu)$-intégrable, avec $\mu$ et $\nu$ des mesures $\sigma$-finies sur $\rm (X,\mathcal A)$ et $\rm (Y,\mathcal B)$.

Alors :

  • Pour $\mu$-presque chaque $x$, $f_x$ est $\nu$-intégrable.
  • Pour $\nu$-presque chaque $y$, $f^y$ est $\mu$-intégrable.
  • $\mathrm F :x\mapsto \int_{\rm Y} f_x d\nu$ est $\mathcal A$-mesurable et $\mu$-intégrable.
  • $\mathrm G :y\mapsto \int_{\rm X} f^y d\mu$ est $\mathcal B$-mesurable et $\nu$-intégrable.
  • $\displaystyle \int_{\rm X\times Y}f \mathrm d(\mu\otimes\nu)$ $\displaystyle \rm =\int_X F d\mu=\int_Y G d\nu$.

Remarque : en pratique, on vérifie que $f$ est intégrable en utilisant le théorème Fubini-Tonelli puis on applique le théorème de Fubini.

Définition : Soit $\rm \varphi : O\subset \mathbb R^n\to O’\subset \mathbb R^n$ avec $\rm O$ et $\rm O’$ des ouverts. 
La fonction $\varphi$ est un difféomorphisme si $\varphi$ est une bijection de classe $\rm C^1$ dont la bijection réciproque est de classe $\rm C^1$.

Définition : La matrice jacobienne de $\varphi$ (difféomorphisme) en $x$ est $\rm J_{\varphi}=\left(\displaystyle\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}(x)\right)_{1\leq i,j\leq n}$
Avec $\rm \varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$.
Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne.

Théorème du changement de variables :

Soient $\rm U,V$ des ouverts de $\rm \mathbb R^n$ et $\rm \varphi :U\to V$ un difféomorphisme de classe $\rm C^1$ de matrice jacobienne $\rm J_{\varphi}$.
Soit $f : \rm V\to \mathbb C$ intégrable. Alors :
$\displaystyle \rm \int_V \mathcal f d\lambda_n$ $\displaystyle \rm =\int_U (\mathcal f\circ \varphi)|det J_{\varphi}|d\lambda_n$.

Exemple : Changement de variables en coordonnées polaires :

$\rm \varphi(r,\theta)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ avec $\rm r\in [0~ ;+\infty[$ et $\rm \theta \in [0 ~;2\pi[$.

$\rm J_{\varphi}(r,\theta)=\left|\begin{array}{ll}\cos \theta & \rm -r\sin \theta\\ \sin \theta & \rm r\cos \theta\end{array}\right|$ $\rm =r\cos^2\theta +r\sin^2\theta =r$

Donc $\displaystyle \int\int_{\mathbb R^2}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy$ $\displaystyle =\int\int_{[0~ ;+\infty[\times [0~ ;~2\pi[}f\rm (r\cos \theta,r\sin \theta)r dr d\theta$.