Définition : La tribu produit AB est la tribu de X×Y engendrée par les pavés c’est-à-dire les produits de mesurables A×B pour AA et BB : AB=σ(P)P={A×B/AA ;BB}.

Exemple : La tribu borélienne B(R2) de R2 est le produit de la tribu borélienne sur R avec elle-même. Elle est engendrée par les produits d’intervalles ouverts ]a ;b[×]c,d[.

Proposition : Soient (X,A,μ) et (Y,B,ν) deux espaces mesurés avec des mesures μ et ν σ-finies. 
Il existe une unique mesure, la mesure produit, notée μν sur AB telle que (μν)(A×B)=μ(A)ν(B) avec AA et BB.

Exemple : La mesure de Lebesgue sur B(Rn) est λn=λλ.

Théorème de Fubini-Tonelli :

Soit f:(X×Y,AB)[0 ;+] une fonction mesurable positive, avec μ et ν des mesures σ-finies sur (X,A) et (Y,B). Alors :

  • xYfxdν est A-mesurable
  • yXfydμ est B-mesurable
  • X×Yfd(μν) =X(Yfxdν)dμ =Y(Xfydμ)dν

Avec fx:yf(x,y)  et fy:xf(x,y).

Théorème de Fubini :

Soit f:(X×Y,AB)R ou C (μν)-intégrable, avec μ et ν des mesures σ-finies sur (X,A) et (Y,B).

Alors :

  • Pour μ-presque chaque x, fx est ν-intégrable.
  • Pour ν-presque chaque y, fy est μ-intégrable.
  • F:xYfxdν est A-mesurable et μ-intégrable.
  • G:yXfydμ est B-mesurable et ν-intégrable.
  • X×Yfd(μν) =XFdμ=YGdν.

Remarque : en pratique, on vérifie que f est intégrable en utilisant le théorème Fubini-Tonelli puis on applique le théorème de Fubini.

Définition : Soit φ:ORnORn avec O et O des ouverts. 
La fonction φ est un difféomorphisme si φ est une bijection de classe C1 dont la bijection réciproque est de classe C1.

Définition : La matrice jacobienne de φ (difféomorphisme) en x est Jφ=(φixj(x))1i,jn
Avec φ=(φ1,,φn).
Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne.

Théorème du changement de variables :

Soient U,V des ouverts de Rn et φ:UV un difféomorphisme de classe C1 de matrice jacobienne Jφ.
Soit f:VC intégrable. Alors :
Vfdλn =U(fφ)|detJφ|dλn.

Exemple : Changement de variables en coordonnées polaires :

φ(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ)) avec r[0 ;+[ et θ[0 ;2π[.

Jφ(r,θ)=|cosθrsinθsinθrcosθ| =rcos2θ+rsin2θ=r

Donc R2f(x,y)dxdy =[0 ;+[×[0 ; 2π[f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.