Définition : La tribu produit AB est la tribu de X×Y engendrée par les pavés c’est-à-dire les produits de mesurables A×B pour AA et BB : AB=σ(P)P={A×B/AA ;BB}.

Exemple : La tribu borélienne B(R2) de R2 est le produit de la tribu borélienne sur R avec elle-même. Elle est engendrée par les produits d’intervalles ouverts ]a ;b[×]c,d[.

Proposition : Soient (X,A,μ) et (Y,B,ν) deux espaces mesurés avec des mesures μ et ν σ-finies. 
Il existe une unique mesure, la mesure produit, notée μν sur AB telle que (μν)(A×B)=μ(A)ν(B) avec AA et BB.

Exemple : La mesure de Lebesgue sur B(Rn) est λn=λλ.

Théorème de Fubini-Tonelli :

Soit f:(X×Y,AB)[0 ;+] une fonction mesurable positive, avec μ et ν des mesures σ-finies sur (X,A) et (Y,B). Alors :

  • xYfxdν est A-mesurable
  • yXfydμ est B-mesurable
  • X×Yfd(μν)

Avec  et .

Théorème de Fubini :

Soit ou -intégrable, avec et des mesures -finies sur et .

Alors :

  • Pour -presque chaque , est -intégrable.
  • Pour -presque chaque , est -intégrable.
  • est -mesurable et -intégrable.
  • est -mesurable et -intégrable.
  • .

Remarque : en pratique, on vérifie que est intégrable en utilisant le théorème Fubini-Tonelli puis on applique le théorème de Fubini.

Définition : Soit avec et des ouverts. 
La fonction est un difféomorphisme si est une bijection de classe dont la bijection réciproque est de classe .

Définition : La matrice jacobienne de (difféomorphisme) en est
Avec .
Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne.

Théorème du changement de variables :

Soient des ouverts de et un difféomorphisme de classe de matrice jacobienne .
Soit intégrable. Alors :
.

Exemple : Changement de variables en coordonnées polaires :

avec et .

Donc .