Définition : La tribu produit A⊗B est la tribu de X×Y engendrée par les pavés c’est-à-dire les produits de mesurables A×B pour A∈A et B∈B : A⊗B=σ(P) où P={A×B/A∈A ;B∈B}.
Exemple : La tribu borélienne B(R2) de R2 est le produit de la tribu borélienne sur R avec elle-même. Elle est engendrée par les produits d’intervalles ouverts ]a ;b[×]c,d[.
Proposition : Soient (X,A,μ) et (Y,B,ν) deux espaces mesurés avec des mesures μ et ν σ-finies.
Il existe une unique mesure, la mesure produit, notée μ⊗ν sur A⊗B telle que (μ⊗ν)(A×B)=μ(A)ν(B) avec A∈A et B∈B.
Exemple : La mesure de Lebesgue sur B(Rn) est λn=λ⊗…⊗λ.
Théorème de Fubini-Tonelli :
Soit f:(X×Y,A⊗B)→[0 ;+∞] une fonction mesurable positive, avec μ et ν des mesures σ-finies sur (X,A) et (Y,B). Alors :
- x↦∫Yfxdν est A-mesurable
- y↦∫Xfydμ est B-mesurable
- ∫X×Yfd(μ⊗ν) =∫X(∫Yfxdν)dμ =∫Y(∫Xfydμ)dν
Avec fx:y↦f(x,y) et fy:x↦f(x,y).
Théorème de Fubini :
Soit f:(X×Y,A⊗B)→R ou C (μ⊗ν)-intégrable, avec μ et ν des mesures σ-finies sur (X,A) et (Y,B).
Alors :
- Pour μ-presque chaque x, fx est ν-intégrable.
- Pour ν-presque chaque y, fy est μ-intégrable.
- F:x↦∫Yfxdν est A-mesurable et μ-intégrable.
- G:y↦∫Xfydμ est B-mesurable et ν-intégrable.
- ∫X×Yfd(μ⊗ν) =∫XFdμ=∫YGdν.
Remarque : en pratique, on vérifie que f est intégrable en utilisant le théorème Fubini-Tonelli puis on applique le théorème de Fubini.
Définition : Soit φ:O⊂Rn→O′⊂Rn avec O et O′ des ouverts.
La fonction φ est un difféomorphisme si φ est une bijection de classe C1 dont la bijection réciproque est de classe C1.
Définition : La matrice jacobienne de φ (difféomorphisme) en x est Jφ=(∂φi∂xj(x))1≤i,j≤n
Avec φ=(φ1,…,φn).
Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne.
Théorème du changement de variables :
Soient U,V des ouverts de Rn et φ:U→V un difféomorphisme de classe C1 de matrice jacobienne Jφ.
Soit f:V→C intégrable. Alors :
∫Vfdλn =∫U(f∘φ)|detJφ|dλn.
Exemple : Changement de variables en coordonnées polaires :
φ(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ)) avec r∈[0 ;+∞[ et θ∈[0 ;2π[.
Jφ(r,θ)=|cosθ−rsinθsinθrcosθ| =rcos2θ+rsin2θ=r
Donc ∫∫R2f(x,y)dxdy =∫∫[0 ;+∞[×[0 ; 2π[f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.