Intégration de fonctions complexes

Définition : Soit $\gamma$ un chemin et soit $f$ une fonction définie en tout point de ce chemin.

Soit $\{l_0,\ldots,l_{\rm n}\}$ une subdivision de $\gamma$ avec $l_0=\rm a$ et $l_{\rm n}=\rm b$. Soit $\xi_1,\ldots,\xi_n$ tels que pour tout $\rm i\in [1~ ;~n]$, $\xi_{\rm i} \in ]l_{\rm i-1} ~; ~l_{\rm i}[$. On pose $\mathrm I_{\rm n}=\displaystyle \sum_{\rm k=1}^{\rm n} f(\xi_{\rm k})(z_l-z_{l-1})$.

Si, quand $\rm n:\to +\infty$, la somme $\rm I_{n}$ tend vers une limite indépendante du choix des $l_{\rm k}$ et des $\xi_{\rm k}$, alors la limite de $\rm I_{n}$ est appelée intégrale de $f$ le long de $\gamma$ et notée $\displaystyle \mathrm I=\int_{\gamma}f(z)\mathrm dz$.

Propriété : Si $f$ est continue sur $\gamma$, son intégrale le long de $\gamma$ existe.

Remarque : Si $\gamma$ est paramétré par $z(\mathrm t)=x(\mathrm t)+ \mathrm iy(\mathrm t)$, on obtient $\displaystyle \rm I=\int_{t_a}^{t_b}\mathcal f(\mathcal z(t))\mathcal z’(t)dt$.

Propriété : Soit $f$ admettant une primitive $\mathrm F$ $(\rm F’=f)$ sur un domaine $\Omega$ de $\mathbb C$.

Alors $\displaystyle \mathrm I=\int_{\gamma}f(z) \mathrm dz=\rm F(b)-F(a)$ avec $\mathrm a$ et $\mathrm b$ les extrémités du chemin $\gamma$, contenu dans $\Omega$.

Proposition : Inégalité de Darboux

Soit $f$ fonction intégrable sur un chemin $\gamma$ de longueur curviligne $\mathrm L$.

On note $\mathrm M=\sup_{\gamma}(|f|)$ que l’on suppose fini.

Alors $\rm |I|\leq ML$.

Théorème de Cauchy :

Soit $\Omega$ un domaine simplement connexe.

Soit $f$ une fonction analytique sur $\Omega$.

Soit $\gamma$ un contour contenu dans $\Omega$.

Alors $\displaystyle \int_{\gamma}f(z) \mathrm dz=0$.

Remarque : Un contour est un chemin dont les extrémités sont égales $(\rm a=b)$.

Proposition : Soit $f$ une fonction analytique sur un domaine simplement connexe $\Omega$.

Soit $\mathrm A$ et $\mathrm B$ deux points de $\gamma$. Soit $\gamma_1$ et $\gamma_2$ deux chemins contenus dans $\Omega$, d’extrémités communes $\mathrm A$ et $\mathrm B$. Alors $\displaystyle \int_{\gamma_1}f(z) \mathrm dz=\displaystyle \int_{\gamma_2}f(z) \mathrm dz$.

Proposition : Soit $f$ une fonction analytique sur un domaine simplement connexe $\Omega$. Alors $f$ admet une primitive sur $\Omega$.

Proposition : Formule intégrale de Cauchy

Soit $f$ une fonction analytique sur un domaine simplement connexe $\Omega$. Soit $z\in \Omega$.

Pour tout contour $\gamma$ de $\Omega$ orienté positivement et entourant $z$, on a :

$f(z)=\displaystyle \frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{f(z’)}{z’-z}\mathrm dz’$

Proposition : Soit $f$ une fonction analytique sur un domaine simplement connexe $\Omega$.

Soit $z\in \Omega$. Alors $f$ est de classe $\mathrm C^{\infty}$ sur $\Omega$ et pour tout contour $\gamma$ entourant $z$, on a, pour tout $\mathrm n\geq 1$ : 

$\displaystyle f^{(\mathrm n)}(z)=\displaystyle \frac{\mathrm n !}{2i\pi}\int_{\gamma}\frac{f(z’)}{(z’-z)^{ \mathrm n+1}}\mathrm dz’$.

Théorème de Morera :

Soit $f$ une fonction continue sur un domaine simplement connexe $\Omega$.

Si, pour tout contour $\gamma$ de $\mathbb C$, on a $\displaystyle \int_{\gamma}f(z\mathrm)dz=0$, alors $f$ est analytique sur $\Omega$.

Théorème de Liouville :

Soit $f$ une fonction entière. Si $f$ est bornée (c’est-à-dire s’il existe $\rm M\in\mathbb R^+$ tel que pour tout $z\in\mathbb C$, $|f(z)|\leq \mathrm M$), alors $f$ est constante.