Normes

Soit $\rm E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Méthode 1 : Etudier une norme

• Utiliser la définition :

Soit l’application : $\mathrm{\|\cdot\|:E\to \mathbb R^+}$.

$\|\cdot\|$ est une norme si :

• Pour tout $x \in \rm E$, $\|x\|=0 \Rightarrow x=0_{\rm E}$
• Pour tout $\lambda \in \mathbb K$, pour tout $x\in \rm E$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
• Pour tous $x, y\in \rm E$, $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$.

$\mathrm{(E,\|\cdot\|)}$ est alors appelé espace normé.

• Reconnaître des normes usuelles :

• Sur $\mathbb R$, la valeur absolue est une norme
• Sur $\mathbb C$, le module est une norme
• Sur $\rm \mathbb K^n$, $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$ et $\|\cdot\|_{\infty}$ sont des normes avec :

$$\begin{array}{ll} \|x\|_1=|x_1|+\ldots+|x_\mathrm n| \\ \displaystyle \|x\|_2=\sqrt{|x_1|^2+\ldots+|x_\mathrm n|^2} \\ \|x\|_{\infty}=\text{max}\{|x_1|,\ldots,|x_{\rm n}|\} \end{array}$$

Avec $x=(x_1,\ldots,x_{\rm n})$

• Sur $\mathrm{B(X,\mathbb K)}$ (ensemble des fonctions définies sur $\mathrm{X}$, non vide, à valeurs dans $\mathbb K$, bornées), $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme avec $\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in \mathrm X}|f(x)|$ (norme de la convergence uniforme)
• Sur $\mathrm{C([a~ ;b],\mathbb K)}$ (espace des fonctions continues de $\mathrm{[a,b]}$ vers $\mathbb K$), $\|\cdot\|_{\infty}$, mais aussi $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont des normes avec :
  $\displaystyle \|f\|_1=\mathrm{\int_a^b} |f(\mathrm{t)|dt}$
  $\displaystyle \|f\|_2=\bigg(\mathrm{\int_a^b} |f(\mathrm t)|^2\rm dt\bigg)^{1/2}$
  (normes de la convergence en moyenne et en moyenne quadratique).

• Identifier une norme sur un produit d’espaces normés :

Soient $\mathrm{(E_1,\|\cdot\|_1), \ldots, (E_r,\|\cdot\|_r)}$ des espaces normés.
On note $\mathrm{E=E_1\times\ldots\times E_r}$.
Soit $x=(x_1,\ldots,x_{\rm r})\in \rm E$.
$\displaystyle \|x\|=\text{max}_{1\leq \mathrm{i \leq r}}\|x_{\rm i}\|$
$\mathrm{\|\cdot\|}$ est une norme sur $\mathrm{E}$.

Méthode 2 : Comparer des normes

• Une norme $\|\cdot\|_1$ sur $\rm E$ est dominée par une norme $\|\cdot\|_2$ s’il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x \in \rm E$, $\|x\|_1\leq \alpha \|x\|_2$
• Deux normes $\mathrm{\|\cdot\|_1}$ et $\mathrm{\|\cdot\|_2}$ sur $\mathrm{E}$ sont équivalentes si chacune est dominée par l’autre : il existe $\mathrm{\alpha,~\beta>0}$ tels que pour tout $x\in \rm E$, $\alpha \|x\|_2 \leq \|x\|_1\leq \beta \|x\|_2$

Théorème :

Sur un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, les normes sont deux à deux équivalentes.

Théorème :

Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes qui ont même limite pour les deux normes.

Remarque :

On peut montrer que deux normes ne sont pas équivalentes en trouvant une suite convergente pour une norme mais divergente pour l’autre ou une suite qui converge pour ces deux normes mais vers des limites différentes.

Rappel :

$\rm (u_n)_{n\in\mathbb N}$ suite d’éléments de $\rm E$ converge vers $\mathrm{l}$ si $\rm \|u_n-l\|\longrightarrow_{n\to +\infty}0$ avec $\|\cdot\|$ norme sur $\rm E$.