Polynômes sur un anneau commutatif

Définition : Soit $\rm A$ anneau commutatif.

On note $\rm A[X]$ l’anneau des polynômes à coefficients dans $\rm A$.

Tout élément de $\rm A[X]$ s’écrit sous la forme $\displaystyle\rm \sum_{i\geq 0}a_iX^i$ où les $\rm a_i$ sont nuls à partir d’un certain rang.

Théorème : $\rm (A[X],+,\times)$ est un anneau commutatif.

L’élément neutre de l’addition est $0 :=\displaystyle\rm \sum_{i\geq 0} 0X^i$.

L’élément neutre de la multiplication est $1 :=\displaystyle\rm \sum_{i\geq 0} \delta_{i,0}X^i$ avec $\rm \delta_{i,0}$ symbole de Kronecker.

Propriété : Soit $f : \rm A\to B$ un morphisme d’anneaux.

Alors l’application $\displaystyle\rm \sum_{i\geq 0}a_iX^i \mapsto \displaystyle\rm \sum_{i\geq 0}f(a_i)X^i$ est un morphisme d’anneaux de $\rm A[X]$ dans $\rm B[X]$.

Définition : Si $\rm P=\displaystyle\sum_{i\geq 0}a_iX^i$ n’est pas le polynôme nul et si $\rm n\in\mathbb N$ est le plus grand indice tel que $\rm a_n\neq 0$, on définit :

• Degré de $\rm P$= $\rm \deg P=n$.

Par convention, $\deg 0=-\infty$.

• Coefficient dominant de $\rm P=a_n$.

Un polynôme est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à $1$.

Propriété : Soit $\rm A$ anneau intègre.

Soit $\rm P,Q\in A$.

$\rm \deg(P+Q)\leq max(\deg P,\deg Q)$

$\rm \deg (PQ)=\deg P+ \deg Q$.

Corollaire :

Soit $\rm A$ anneau intègre.

Les éléments inversibles de $\rm A[X]$ sont les éléments de $\rm A^*$ où $\rm A^*$ est l’ensemble des éléments inversibles pour la loi $\times$.

Remarque : $\rm (A^*,\times)$ est le groupe des unités de l’anneau $\rm A$.

Proposition : Si $\rm A$ est un anneau intègre, $\rm A[X]$ est un anneau intègre.

Théorème : Division euclidienne dans $\rm A[X]$

Soit $\rm A$ anneau commutatif.

Soit $\rm P\in A[X]$, non nul, de terme dominant $\rm aX^n$.

Pour tout $\rm S\in A[X]$, il existe $\rm k\in\mathbb N$ et $\rm Q,R\in A[X]$ tels que $\rm a^k S=PQ+R$ avec $\rm \deg R< \deg P$.

$\rm Q$ est appelé le quotient et $\rm R$ le reste de la division euclidienne.

Définitions :

Soit deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ de $\rm \mathbb K[X]$ dont l’un au moins est non nul.

Le PGCD de $\rm A,B$ est un diviseur commun à $\rm A$ et $\rm B$ de degré maximal.

On note $\rm A\wedge B$ le seul PGCD de $\rm A$ et $\rm B$ unitaire.

Le PPCM de $\rm A,B$ est un multiple commun à $\rm A$ et $\rm B$ de degré minimal.

On note $\rm A\vee B$ le seul PPCM de $\rm A$ et $\rm B$ unitaire.

Définition : Lorsque $\rm A\wedge B=1$, on dit que les polynômes sont premiers entre eux.

Théorème :

Les diviseurs communs à deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ (dont l’un est non nul) sont les diviseurs d’un PGCD.

Les multiples communs à deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ (dont l’un est non nul) sont les multiples d’un PPCM.

Théorème :

Les PGCD et les PPCM de deux polynômes sont des polynômes associés.

Théorème :

Soit deux polynômes $\rm A$ et $\rm B$ de $\rm \mathbb K[X]$ unitaires dont l’un est non nul :

$\rm (A\wedge B)(A\vee B)=AB$

Théorème : Egalité de Bezout

Soit deux polynômes non nuls $\rm A,B$ de $\rm \mathbb K[X]$ et $\rm P$ un PGCD de $\rm A,B$.

Alors il existe deux polynômes $\rm (U,V)$ de $\rm \mathbb K[X]$ tels que $\rm AU+BV=P$.