Projections et symétries orthogonales

Soit $\rm E$ un espace préhilbertien complexe muni d’un produit scalaire hermitien $(\cdot|\cdot)$.

Définition :

Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$ qui admette un sous-espace vectoriel supplémentaire et orthogonal ($\rm E=F\bigoplus H$).

La projection sur $\rm F$ parallèlement à $\rm H$ est appelée projection orthogonale sur $\rm F$.

Remarque : Un projecteur orthogonal est aussi appelé orthoprojecteur.

Propriété :

Soit $\rm p\in\mathcal L(E)$ une projection orthogonale.

Alors $\rm p\circ p=p$ ($\rm p$ est un projecteur) et $\rm Ker (p)$ et $\rm Im( p)$ sont orthogonaux.

Propriété :

Soit $\rm p\in\mathcal L(E)$ un projecteur.

$\rm p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $\rm p$ est hermitien.

Dans ce qui suit, on note $\it p_F$ la projection orthogonale sur $\it F$, sous-espace vectoriel de dimension finie $\it m$.

Proposition :

Soit $\rm (e_0,\dots,e_m)$ base orthonormale du sous-espace vectoriel $\rm F$.

Pour tout $x\in \rm E$, $\rm p_F(\mathcal x)=\displaystyle\rm\sum_{k=0}^{m}(e_k|\mathcal x)e_k$.

Remarque : $\rm Im(p_F)=F$ et $\rm Ker(p_F)=F^{\bot}$

Théorème et définition :

Pour tous $x\in \rm E$ et $y\in \rm F$, $\|x-y\|\geq \|x-\rm p_F(\mathcal x)\|$ avec égalité si et seulement si $y=\rm p_F(\mathcal x)$.
$\mathrm d(x,\mathrm F)=\|x-\rm p_F(\mathrm x)\|=\inf_{y\in \rm F}\|x-y\|$ est la distance de $x$ à $\rm F$.

Théorème : $\mathrm d(x,\mathrm F)=\sqrt{\|x\|^2-\|\mathrm{p_F}(x)\|^2}$.

Définition :

Soit $\rm F$ un sous-espace vectoriel de $\rm E$ qui admette un sous-espace vectoriel supplémentaire et orthogonal.

La symétrie orthogonale $s$ par rapport à $\rm F$ est la symétrie par rapport à $\rm F$ parallèlement à $\rm F^{\bot}$.

Propriété :

Soit $\rm s\in\rm \mathcal L(E)$ une symétrie ($\rm s\circ s=Id_E$).
$\rm s$ est une symétrie orthogonale si et seulement si $\rm s$ est hermitienne.