Développements limités

Un développement limité d'une fonction $f$ est une approximation locale (c'est-à-dire au voisinage d'un point) de $f$ par une fonction polynomiale. Plus précisément, on a la définition suivante :

Définition :

Soit $\mathrm V$ un voisinage de $0$ (autrement dit un intervalle du type $]-\alpha,\alpha[$ avec $\alpha>0$).

Soit $f$ une fonction définie sur $\rm D=V$ ou $\rm D=V \backslash\{0\}$. 

Soit $n$ un entier naturel. 

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0$ (en abrégé $\mathrm{DL}_n(0)$) s'il existe une fonction polynomiale $x \mapsto a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ de degré inférieur ou égal à $n$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $ \mathrm D$ telles que

• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\epsilon(x)=0$
• $\forall x \in \mathrm D$, $f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+\epsilon(x)x^n$.

Remarques :

• La fonction $f$ n'est pas forcément définie au point où elle admet un développement limité.
• Lorsqu'une fonction admet un développement limité à un ordre donné, ce développement est unique.
• La quantité $\epsilon(x)x^n$ (qui tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$) représente l'erreur d'approximation lorsqu'on confond $f$ et son approximation polynomiale .
• L'erreur d'approximation $\epsilon(x)x^n$ est négligeable devant $x^n$ car $\displaystyle{\frac{\epsilon(x)x^n}{x^n}= \epsilon(x) \stackrel{x \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0}$ ce que l'on écrit par
      $\epsilon(x)x^n \stackrel{x \rightarrow 0}{=} o(x^n)$. Ainsi, le $DL_n(0)$ de $f$ s'écrit également $f(x)\stackrel{x \rightarrow 0}{=}a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n+o(x^n)$.

À apprendre par cœur : les DL de $\mathrm e^x,\cos(x),\sin(x),\tan(x)$ ,$\ln(1−x)$ et $(1+x)^{\alpha}$

$\mathrm e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^ 3}{3 !}$ $+\ldots +$ $\displaystyle \frac{x^n}{n !}+\mathrm o(x^n)$

$\ln(1-x)=-x-\displaystyle \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$ $-\ldots -$ $\displaystyle \frac{x^n}{n}+\mathrm o(x^n)$

$\cos(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\ldots$

$\sin(x)=x-\displaystyle\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\ldots$

$\displaystyle \tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\ldots$

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\displaystyle\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^2$ $+\ldots +$ $\displaystyle \frac{\alpha(\alpha-1)\dots (\alpha-n+1)}{n !}x^n+\mathrm o(x^n)$

Avec les développements limités, on peut effectuer des opérations d’addition, de soustraction et plus généralement de combinaison linéaire.
Lorsqu'on effectue des opérations sur les développements limités, il y a deux points importants à garder à l'esprit :

• On ne travaille qu'avec les parties polynomiales des développements limités. Ainsi, on n'a pas à gérer « les petits o ».
• Les développements limités entrant en jeu lors des calculs doivent être en général tous au même ordre.

Après les calculs, on vérifie les deux points suivants :

• Le terme de degré $0$ du développement limité est la valeur de la fonction en $0$ (si elle est définie en $0$ sinon c'est sa limite en $0$).
• Si la fonction est paire (respectivement impaire) la partie polynomiale du développement limité ne doit comporter que des termes de degré pair (respectivement impair).