Équations différentielles à variables séparables

1) Une équation différentielle

C'est une équation mélangeant une fonction inconnue notée $y$ et ses dérivées $y'$, $y''$, etc. Par exemple, $(y')^2 + \ln(y) = e^x$ ou $y'\sin(x) = y\cos(x)$ ou $x^2y'' -y' +1 = y$. Les deux premières sont dites du premier ordre car elles ne font intervenir que la dérivée première de $y$. La deuxième est du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde de $y$. 

On ne s'intéresse à présent qu'aux équations différentielles du premier ordre. 

Parmi ces équations différentielles, il y en a qui s'appellent des équations différentielles à variables séparables. C'est celles du type $y'.g(y) = h(x)$. C'est-à-dire qu'on peut séparer les variables $x$ et $y$. On peut mettre d'un côté les $y$ et de l'autre les $x$ ce qui facilitera la résolution.

L'équation différentielle $(y')^2 + \ln(y) = e^x$ n'est pas à variable séparable à cause du carré sur le $y'$. Cette équation n'est pas du type $y'.g(y) = h(x)$.

En revanche, l'équation différentielle $y'\sin(x) = y\cos(x)$ est à variable séparable. En effet si on écrit $\displaystyle{\frac{y'}{y} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$ alors, en posant $\displaystyle{g(t) = \frac{1}{t}}$ et $\displaystyle{h(x) =\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$ , l'équation est bien du type $y'g(y) = h(x)$ .

2) Résolution d'une équation différentielle à variables séparables.

Soit $\mathrm{(E)} : y'.g(y) = h(x)$ une équation différentielle à variables séparables. On reconnait dans $y'g(y)$ la formule de dérivation de la fonction composée $G(y)$ où $G$ désigne une primitive de $g$. (En effet, $(G(y))' = G'(y) \times y' = g(y) y'$).

En primitivant des deux côtés de l'équation $\mathrm{(E)}$, on obtient : $G(y) = H(x)$ où $H$ désigne une primitive de la fonction $h$ (rappelons qu'une primitive est toujours définie à une constant près). 

Le problème revient donc à "tirer" $y$ en fonction de $x$ de la relation $G(y) = H(x)$.

3) Reprenons l'exemple de $y'\sin(x) = y\cos(x)$

Nous l'avons mis sous la forme $\displaystyle{\frac{y'}{y} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}$. On primitive des deux côtés : $\ln(y) = \ln(\sin(x))+k$ (avec $k$ une constante quelconque). On a donc $y(x) = \exp(\ln(\sin(x)+k) = e^k\sin(x)$ donc les solutions sont les fonctions du type $y(x) = \lambda \sin(x)$ avec $\lambda$ une constante. 

Autre exemple. L'équation $y'-xe^{-y}=0$ est une équation différentielle à variables séparables car on peut la mettre sous la forme $y'e^y = x$. En intégrant des deux côtés: $\displaystyle{e^y = \frac{x^2}{2}+k}$. On a donc $\displaystyle{\ln(e^y) = \ln\left(\frac{x^2}{2}+k\right)}$ donc :

$\displaystyle{y(x) = \ln\left(\frac{x^2}{2}+k\right)}$.