Équations différentielles

Equation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’(t) + by(t) = c(t) \mathrm{(E)}$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul, et $c$ une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de $\mathrm{(E)}$ et des solutions générales de l’équation $\mathrm{(E’)} ay’(t) + by(t) = 0$ sans second membre.

On a donc $y(t) = ke^{-\frac{b}{a} t} + y_0 (t)$ où $k$ est un nombre réel et $y_0$ une solution particulière de $\mathrm{(E)}$.

Equation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

C’est une équation d’inconnue une fonction y deux fois dérivable qui s’écrit sous la forme : $ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = d(t) \mathrm{(E)}$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, $a$ non nul, et $d$ une fonction continue.

Les solutions de cette équation sont les sommes d’une solution particulière de $\mathrm{(E)}$ et des solutions générales de l’équation $\mathrm{(E’)} ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0$ sans second membre.

On appelle $ar^2 + br + c = 0$ équation caractéristique de $\mathrm{(E’)}$.

• Si $\Delta > 0$, l’équation a deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = \mathrm{A} e^{r_1 t} + \mathrm{B} e^{r_2 t}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.
• Si $\Delta = 0$, l’équation a une seule solution $r = -\frac{b}{2a}$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} + \mathrm{B} t)e^{rt}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.
• Si $\Delta < 0$, l’équation a deux solutions complexes $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$ et les solutions générales de $\mathrm{(E’)}$ sont de la forme $y_0(t) = (\mathrm{A} \cos(\beta t) + \mathrm{B} \sin(\beta t))e^{\alpha t}$ où $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont des réels.