Fondamentaux de mathématiques

Système de deux équations à deux inconnues

Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, il faut trouver le ou les couples (x ; y) qui sont solutions simultanément des deux équations.
Les deux méthodes de résolution sont celle par combinaison et celle par substitution. 

Exemple :

Le système $\left\{ \begin{array}{c} \textit{x} + 2\textit{y} = 0 \\ 3\textit{x} + \textit{y} = -5 \end{array}\right\}$ a pour unique solution le couple (-2 ; 1).

Interprétation graphique

Graphiquement, lorsque le système de deux équations à deux inconnues n’a qu’une seule solution, cette solution représente les coordonnées du point d’intersection des deux droites d’équations les équations du système.

Exemple :

L’unique solution du système $\left\{ \begin{array}{c} \textit{x} + 2\textit{y} = 0 \\ 3\textit{x} + \textit{y} = -5 \end{array}\right\}$ est le couple (-2 ; 1) qui est le point d’intersection des droites d’équation $\textit{y} = \frac{-x}{2}$ et $\textit{y}= -3\textit{x} - 5$.

Développement

Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ :

$(a + b)\times(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$.

Lorsque l’on a ordonné les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l’on a réduit l’expression.

Identités remarquables 

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

${(a + b)}^2 = a^2 + 2ab + b^2$
${(a - b)}^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ 

Factorisation

Factoriser une expression, c’est la transformer d’une somme en un produit de facteurs.

Une fonction polynôme de degré 2

C'est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels, $a$ non nul.
La droite d’équation $x = \frac{-b}{2a}$ est axe de symétrie pour la courbe représentative de $f$, qui est une parabole.

• Si $a > 0$, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ~; \frac{-b}{2a}]$ et strictement croissante sur $[\frac{-b}{2a}~ ; +\infty[$ (la parabole est orientée vers le haut).

• Si $a < 0$, $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ~; \frac{-b}{2a}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{-b}{2a} ~; +\infty[$ (la parabole est orientée vers le bas).

• $f(\frac{-b}{2a}) = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}$ donc le sommet de la parabole est le point $\mathrm{S}(\frac{-b}{2a} ~; \frac{-b^2 + 4ac}{4a})$.

Nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant ${x}_0$.

On dit que $f$ est dérivable en ${x}_0$ si le quotient $\frac{f({x}_0 + h) - f({x}_0)}{h}$ admet une limite finie quand h tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en ${x}_0$ et se note $f '({x}_0)$.

On a donc $\lim_{h \to 0} \frac{f({x}_0 + h) - f({x}_0)}{h}$ = $f'({x}_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse ${x}_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse ${x}_0$.

Fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus sont définies, continues et dérivables sur $\mathbb{R}$.

Elles sont périodiques de période 2$\pi$ et leur représentation graphique est une sinusoïde de période 2$\pi$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos'(x) = -sin(x)$ et $\sin'(x) = \cos(x)$.

Pour tout $(a, b) \in {\mathbb{R}}^2$ :

• $\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$
• $\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$
  

La fonction cosinus est paire donc elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction sinus est impaire donc elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Fonction tangente

La fonction tangente est définie, continue et dérivable sur les intervalles $]-\frac{\pi}{2} + k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi[$ avec $k$ réel.

Elle est périodique de période $\pi$.

Pour tout $x\in]-\frac{\pi}{2} + k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi[$ avec $k$ réel, $\tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

La fonction tangente est impaire donc elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Valeurs remarquables du cosinus, sinus et de la tangente

Equations $\cos (x) = \cos(a)$ et $\sin(x) = \sin(a)$

• $\cos(x) = \cos(a) \Leftrightarrow x = a + 2k \pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
• $\sin(x) = \sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k \pi$ ou $x = \pi - a + 2k \pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$