4) Changement d'indice.
Voici les 3 étapes pour faire un changement d'indice dans une somme :
- On définit le nouvel indice en fonction de l'ancien
- On détermine entre quelle valeur et quelle autre valeur varie le nouvel indice
- On réécrit la somme en fonction uniquement du nouvel indice
Exemple :
Soit à calculer la somme $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}k}$.
On sait d'après le cours que $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$. On ne peut pas ici utiliser tout de suite cette formule car la somme $\displaystyle{S_n}$ ne commence pas à 1 mais à 7.
On va donc faire un changement d'indice de telle sorte que l'indice débute à 1 et non à 7.
- On pose $\displaystyle{i = k-6}$ ($i$ est le nouvel indice et $k$ est l'ancien).
- On a $\displaystyle{7 \le k \le n}$ donc $\displaystyle{7-6 \le k-6 \le n-6}$ c'est-à-dire $\displaystyle{1 \le i \le n-6}$.
- On réécrit la somme en fonction du nouvel indice. Puisque $\displaystyle{i = k-6}$ on a donc $\displaystyle{k=i+6}$.
Donc $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}{k} = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6)}$.
Attention, on ne peut toujours pas utiliser la formule du cours $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$ car à l'intérieur de la somme on a $i+6$ et non pas $i$.
On a $\displaystyle{S_n = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6) = \sum_{i=1}^{n-6}i + \sum_{i=1}^{n-6}6}$.
La première somme est $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}i = \frac{(n-6)(n-5)}{2}}$. Là, on peut utiliser la formule du cours. On a remplacé $\displaystyle{p}$ par $\displaystyle{n-6}$.
La deuxième somme est $\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n - 6}6 = 6 + 6 + \ldots +6}$ où le nombre $\displaystyle{6}$ apparaît $(n-6)$ fois.
(Remarque : il faut savoir que dans une somme du type $\displaystyle{\sum_{k=p}^{q}{a_k}}$ il y a $\displaystyle{q-p+1}$ termes.)
On a donc $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}{6} = (n-6)\times 6}$.
Donc au final $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n-5)}{2} + 6(n-6)}$.
On factorise par $\displaystyle{n-6}$ : $\displaystyle{S_n = (n-6)\left(\frac{(n-5)}{2} + 6\right) = (n-6)\frac{n+7}{2}}$ donc $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n+7)}{2}}$.
Test de cohérence : on va vérifier que la formule qu'on a trouvée est cohérente avec $\displaystyle{n=7}$.
Si on reprend la définition de $\displaystyle{S_7}$, on a $\displaystyle{S_7 = \sum_{k=7}^{7}k = 7}$.
Si on prend la formule qu'on a trouvée, on a $\displaystyle{\frac{(7 - 6)(7 + 7)}{2} = 7}$.
C'est donc cohérent.
5) Somme double
a) Somme sur un rectangle.
On considère une famille de $n \times p$ nombres réels ou complexes
$(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$
$$
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
i \backslash j & 1 & 2 & 3 & \ldots & p\\
\hline
1 & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \ldots & a_{1,p}\\
2 & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \ldots & a_{2,p}\\
3 & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \ldots & a_{3,p}\\
\vdots & \vdots & & & & \vdots\\
n & a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \ldots & a_{n,p}\\
\hline
\end{array}
$$
$\displaystyle{\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}}$ représente la somme des éléments de la $i$-ème ligne. Donc $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}\right)}$ est la somme des éléments du tableau calculée par ligne.
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}}$ représente la somme des éléments de la $j$-ème colonne. Donc $\displaystyle{\sum_{j=1}^{p}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\right)}$ est la somme des éléments du tableau calculée par colonne.
On a donc le théorème suivant :
Théorème de Fubini :
\[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}\right)} = \displaystyle{\sum_{j=1}^{p}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\right)}.\]
Quand on somme une famille $(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$, on peut commencer par sommer sur l'indice $i$ puis sur l'indice $j$ ou le contraire. Comme l'ordre des indices est indifférent, on note cette somme $\displaystyle{\sum_{1 \le i \le n \atop 1 \le j \le p} a_{i,j}}$.
b) Somme sur un triangle.
On considère une famille de nombres réels ou complexes
$(a_{i,j})_{1 \leq i \leq j \leq n}$
\[\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
i \backslash j & 1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
\hline
1 & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \ldots & a_{1,n}\\
2 & & a_{2,2} & a_{2,3} & \ldots & a_{2,n}\\
3 & & & a_{3,3} & \ldots & a_{3,n}\\
\vdots & & & &\ddots & \vdots\\
n & & & & & a_{n,n}\\
\hline
\end{array}\]
Lorsqu'on somme tous ces nombres par ligne ou par colonne, cela donne la formule :
\[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}a_{i,j}}.\]
Cette double somme se note $\displaystyle{\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}a_{i,j}}$.
Ne pas confondre $\displaystyle{\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}a_{i,j}}$ et $\displaystyle{\sum_{1 \leq i , j \leq n}a_{i,j}}$