Calculs de sommes indicées (un et deux indices), changements d'indice

1) Définition de la notation sigma : 

Soit $(p,q) \in {\Bbb N}^2$ tel que $p \leq q$.
Soit $a_p,a_{p+1},\ldots,a_{q-1},a_q$ une famille de nombres réels ou complexes.

La somme $a_p + a_{p+1} + \ldots + a_{q-1} + a_q$ se note $\displaystyle{\sum_{k=p}^{q}a_k}$.
Cette somme comprend $q-p+1$ termes.

Exemple :

\[\displaystyle{\sum_{k=3}^{6}\frac{1}{k} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}}.\]

Remarque :

La somme $\displaystyle{\sum_{k=2}^{5}a_k} = a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ est égale aussi à la somme $\displaystyle{\sum_{i=2}^{5}a_i}$.

La variable $k$ ou $i$ est un compteur qui varie entre les entiers $2$ et $5$ (comme dans une boucle en informatique). On peut le noter avec la lettre ou le symbole que l'on veut. On dit que $k$ est un indice MUET.

2) Règles de manipulation des sommes.

Dans le théorème qui suit, on a fait partir les sommes à partir de $1$, mais le théorème est encore vrai lorsque les sommes partent d'un autre indice initial que $1$.

Soient $(a_k)_{1\leq k \leq n}$ et $(b_k)_{1\leq k \leq n}$ deux familles de nombres réels ou complexes. Soit $\lambda$ un réel ou un complexe. On a alors :

a) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k + \sum_{k=1}^{n}b_k}$

b) $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(\lambda a_k) = \lambda \sum_{k=1}^{n}a_k}$

(Le sens $\rightarrow$ s'appelle une factorisation; le sens $\leftarrow$ s'appelle un développement.)

3) Les sommes de référence à connaître :

a) Somme arithmétique

\[\begin{array}{ll}\forall n\in {\Bbb N}^*\\ \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}}.\end{array}\] 

b) Somme géométrique

\[\begin{array}{ll}\forall n\in {\Bbb N}^*,\\
\forall q \in {\Bbb C},\\
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} q^k = 
\left\{\begin{array}{lll}
\frac{1-q^n}{1-q} & \mbox{ si } & q \neq 1\\
n+1 & \mbox{ si } & q=1\end{array}\right.}.\end{array}\] 

c) Formule du binôme de Newton

\[\begin{array}{ll}\forall n\in {\Bbb N}^*,\\ \forall (a,b) \in {\Bbb C}^2,\\ 
\displaystyle{(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}
\left(\begin{array}{c}n \\
k\end{array}
\right)
a^kb^{n-k}}\end{array}\]

Remarque :

Dans la pratique, il est inutile de connaître d'autres sommes comme par exemple la formule plus générale (vue en 1ère S) qui donne la somme des termes d'une suite arithmétique. La plupart des autres sommes se calculent à l'aide de ces trois sommes de référence en utilisant des changements d'indices ou des manipulations de sommes.

4) Changement d'indice.

Voici les 3 étapes pour faire un changement d'indice dans une somme :

1. On définit le nouvel indice en fonction de l'ancien
2. On détermine entre quelle valeur et quelle autre valeur varie le nouvel indice
3. On réécrit la somme en fonction uniquement du nouvel indice

Exemple :

Soit à calculer la somme $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}k}$.

On sait d'après le cours que $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$. On ne peut pas ici utiliser tout de suite cette formule car la somme $\displaystyle{S_n}$ ne commence pas à 1 mais à 7.

On va donc faire un changement d'indice de telle sorte que l'indice débute à 1 et non à 7.

1. On pose $\displaystyle{i = k-6}$ ($i$ est le nouvel indice et $k$ est l'ancien).
2. On a $\displaystyle{7 \le k \le n}$ donc $\displaystyle{7-6 \le k-6 \le n-6}$ c'est-à-dire $\displaystyle{1 \le i \le n-6}$. 
3. On réécrit la somme en fonction du nouvel indice. Puisque $\displaystyle{i =  k-6}$ on a donc $\displaystyle{k=i+6}$.

Donc $\displaystyle{S_n = \sum_{k=7}^{n}{k} = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6)}$.

Attention, on ne peut toujours pas utiliser la formule du cours $\displaystyle{\sum_{i=1}^{p}i = \frac{p(p+1)}{2}}$ car à l'intérieur de la somme on a $i+6$ et non pas $i$.

On a $\displaystyle{S_n = \sum_{i=1}^{n-6}(i+6) = \sum_{i=1}^{n-6}i + \sum_{i=1}^{n-6}6}$.

La première somme est $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}i = \frac{(n-6)(n-5)}{2}}$. Là, on peut utiliser la formule du cours. On a remplacé $\displaystyle{p}$ par $\displaystyle{n-6}$. 

La deuxième somme est $\displaystyle{\sum_{i = 1}^{n - 6}6 = 6 + 6 + \ldots +6}$ où le nombre $\displaystyle{6}$ apparaît $(n-6)$ fois. 

(Remarque : il faut savoir que dans une somme du type $\displaystyle{\sum_{k=p}^{q}{a_k}}$ il y a $\displaystyle{q-p+1}$ termes.)

On a donc $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-6}{6} = (n-6)\times 6}$.

Donc au final $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n-5)}{2} + 6(n-6)}$.

On factorise par $\displaystyle{n-6}$ : $\displaystyle{S_n = (n-6)\left(\frac{(n-5)}{2} + 6\right) = (n-6)\frac{n+7}{2}}$ donc $\displaystyle{S_n = \frac{(n-6)(n+7)}{2}}$.

Test de cohérence : on va vérifier que la formule qu'on a trouvée est cohérente avec $\displaystyle{n=7}$.

Si on reprend la définition de $\displaystyle{S_7}$, on a $\displaystyle{S_7 = \sum_{k=7}^{7}k = 7}$.
Si on prend la formule qu'on a trouvée, on a $\displaystyle{\frac{(7 - 6)(7 + 7)}{2} = 7}$.
C'est donc cohérent. 

5) Somme double

a) Somme sur un rectangle.

On considère une famille de $n \times p$ nombres réels ou complexes
$(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$

$$
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
  i \backslash j & 1 & 2 & 3 & \ldots & p\\
\hline
1 & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \ldots & a_{1,p}\\
2 & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \ldots & a_{2,p}\\
3 & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \ldots & a_{3,p}\\
\vdots & \vdots & & & & \vdots\\
n & a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \ldots & a_{n,p}\\
\hline
\end{array}
$$

$\displaystyle{\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}}$ représente la somme des éléments de la $i$-ème ligne. Donc $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}\right)}$  est la somme des éléments du tableau calculée par ligne.

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}}$ représente la somme des éléments de la $j$-ème colonne. Donc $\displaystyle{\sum_{j=1}^{p}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\right)}$ est la somme des éléments du tableau calculée par colonne.

On a donc le théorème suivant :

Théorème de Fubini :

\[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{p}a_{i,j}\right)} = \displaystyle{\sum_{j=1}^{p}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}\right)}.\]

Quand on somme une famille $(a_{i,j})_{\stackrel{1 \leq i \leq n}{_{1 \leq j \leq p}}}$, on peut commencer par sommer sur l'indice $i$ puis sur l'indice $j$ ou le contraire. Comme l'ordre des indices est indifférent, on note cette somme $\displaystyle{\sum_{1 \le i \le n \atop 1 \le j \le p} a_{i,j}}$.

b) Somme sur un triangle.

On considère une famille de nombres réels ou complexes
$(a_{i,j})_{1 \leq i \leq j \leq n}$

\[\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
  i \backslash j & 1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
\hline
1 & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \ldots & a_{1,n}\\
2 & & a_{2,2} & a_{2,3} & \ldots & a_{2,n}\\
3 & & & a_{3,3} & \ldots & a_{3,n}\\
\vdots & & & &\ddots & \vdots\\
n & & & & & a_{n,n}\\
\hline
\end{array}\]

Lorsqu'on somme tous ces nombres par ligne ou par colonne, cela donne la formule :

\[\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}a_{i,j}}.\]

Cette double somme se note $\displaystyle{\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}a_{i,j}}$.

Ne pas confondre $\displaystyle{\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}a_{i,j}}$ et $\displaystyle{\sum_{1 \leq i , j \leq n}a_{i,j}}$