Convergences et estimation

Inégalité de Markov

Soit $\rm X$ une variable aléatoire réelle à valeurs positives admettant une espérance.
Alors $\forall a>0$, $\rm P(X\geq \mathcal a)\leq \dfrac{E(X)}{\mathcal a}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $\rm X$ une variable aléatoire admettant une espérance et une variance.
Alors $\forall \epsilon >0$, $\rm P(|X-E(X)|\geq \epsilon)\leq \dfrac{V(X)}{\epsilon^2}$

Loi faible des grands nombres

Soit $(\mathrm X_n)$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes admettant la même espérance $m$ et un même écart-type $\sigma$.
On pose : $\overline{\mathrm X_n}=\dfrac{\mathrm X_1+\ldots +\mathrm X_n}{n}$.
Alors $\forall \epsilon >0$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\mathrm P(|\overline{\mathrm X_n}-m|\geq \epsilon)=0$

Convergence en probabilité :

La suite $(\mathrm X_n)_{n\in\mathbb N*}$ converge en probabilité vers $\rm X$ si : pour tout $\epsilon>0$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}P(|\mathrm X_n-\mathrm X|\geq\epsilon)=0$

Théorème :

Si $(\mathrm X_n)_{n\in\mathbb N*}$ converge en probabilité vers $\rm X$, et si $f$ est continue sur $\mathbb R$ à valeurs réelles, alors $(f(\mathrm X_n)) _{n\in\mathbb N*}$ converge en probabilité vers $f(\mathrm X)$.

Convergence en loi :

La suite $(\mathrm X_n)_{n\in\mathbb N*}$ converge en loi vers $\rm X$ si si et seulement si en tout point de continuité $x$ de $\displaystyle \rm F_X : \lim_{\mathcal n\to +\infty}F_{X_{\mathcal n}}(x)=F_X(\mathcal x)$

Théorème :

Si $(\mathrm X_n)_{n\in\mathbb N*}$ converge en loi vers $\rm X$, et si $f$ est continue sur $\mathbb R$ à valeurs réelles, alors $(f(\mathrm X_n))_{n\in\mathbb N*}$ converge en probabilité vers $f(\rm X)$.

Théorème limite central :

Si $(\mathrm X_n)_{n\in\mathbb N*}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ non nulle, si on note : $\overline{\mathrm X_n}=\dfrac{\mathrm X_1+\ldots +\mathrm X_n}{n}$, alors la suite de variables aléatoires centrées réduites $\overline{\mathrm X_n}^* = \sqrt{n}\left(\dfrac{\overline{\mathrm X_n}-m}{\sigma}\right)$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.