Déterminant d'une matrice

• Déterminant d’ordre $2$ : $\rm \left|\begin{array}{ll} a & b\\ c & d\end{array}\right|= ad-bc$
• Déterminant d’ordre $3$ : règle de Sarrus.
• Déterminant par développement suivant une ligne ou une colonne, par exemple suivant la ligne $i$ : $\displaystyle\det(A)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})$

Où $\mathrm A_{i,j}$ est la matrice obtenue à partir de $\rm A$ en enlevant la $i^{\rm ème}$ ligne et la $j^{\rm ème}$ colonne.

• Matrice triangulaire :
  Le déterminant est égal au produit des coefficients de la diagonale.
• Transposée de matrices : $\rm \det(^tA)=\det(A)$
• Produit de matrices : $\rm \det(AB)$ $\rm =\det(A)\det(B)$ et $\rm \det(\lambda A)$ $\rm =\lambda^n \det(A)$

Matrice inversible :

$\rm A$ est inversible si et seulement si $\rm \det(A)\neq 0$. Dans ce cas $\displaystyle \rm \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

• Si $\rm A$ est inversible, $\displaystyle\rm A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}^t(Com(A))$.