Étude de séries entières

Méthode 1 : Étudier la convergence de séries entières

Définition :

On note $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ la série entière définie par la suite de coefficients $\rm (a_n)\in \mathbb C^{\mathbb N}$.

Le domaine de convergence de la série entière noté $\rm D$ est l’ensemble des $z\in\mathbb C$ pour lesquels $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ converge. 

On note la somme de la série entière : $\rm S :D\to \mathbb C$ définie par $\displaystyle\rm S(\mathcal z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \mathcal z^n$.

Lemme d’Abel :

Si la suite $\rm (a_n\mathcal z_0^n)$ est bornée, alors pour tout $z\in\mathbb C$ tel que $|z|<|z_0|$, la série $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ est absolument convergente.

On appelle rayon de convergence de la série $\displaystyle \sum a_n \mathcal z^n$ le nombre : $\rm R=\sup \{r\geq 0/(a_nr^n) \text{est bornée}\}$ $\rm (R\in \mathbb R^+ \cup \{+\infty\})$ et $\rm D(0,R)=\{\mathcal z\in \mathbb C,|\mathcal z|< R\}$ le disque de convergence de la série entière.

Théorème :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ série entière de rayon de convergence $\rm R$.
Si $|z|< \rm R$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ est absolument convergente.
Si $|z|> \rm R$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ diverge grossièrement.

Théorème :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ série entière de rayon de convergence $\rm R$.

$\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ converge normalement sur tout disque fermé de centre $0$ et de rayon strictement inférieur à $\rm R$.

Théorème de comparaison :

Soient $\displaystyle\rm \sum a_n\mathcal z^n$ et $\displaystyle \rm \sum b_n\mathcal z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $\rm R_a$ et $\rm R_b$.

• Si $\rm |a_n|\leq |b_n|$ alors $\rm R_a\geq R_b$
• Si $\rm a_n=O(b_n)$ alors $\rm R_a\geq R_b$
• Si $\rm a_n \sim b_n$, alors $\rm R_a=R_b$.

Théorème :

Les séries entières $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ et $\displaystyle \rm \sum na_n\rm z^n$ ont même rayon de convergence.

Méthode 2 : Étudier les sommes et produits de séries entières

Soient $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal z^n$ et $\displaystyle \rm \sum b_n\mathcal z^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $\rm R_a$ et $\rm R_b$.

Théorème pour la somme :

Le rayon de convergence $\rm R$ de la série entière somme $\displaystyle \rm \sum (a_n+b_n)\mathcal z^n$ vérifie $\rm R\geq min(R_a,R_b)$.

Pour tout $|z|< \rm min(R_a,R_b)$,

$\displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty} (a_n+b_n)\mathcal z^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\mathcal z^n +\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\mathcal z^n$

Remarque :

Si $\rm R_a \neq R_b$ alors $\rm R=min(R_a,R_b)$.

Théorème pour le produit :

Le rayon de convergence $\rm R$ de la série entière produit $\displaystyle \rm \sum c_n\mathcal z^n$ avec $\rm c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}$ vérifie $\rm R\geq min(R_a,R_b)$.

Pour tout $|z|< \rm min(R_a,R_b)$,

$\displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty}c_n\mathcal z^n=\left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\mathcal z^n\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n\mathcal z^n\right)$

Méthode 3 : Étudier une série entière d’une variable réelle

On considère ici une série entière $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ de rayon de convergence $\rm R>0$ avec $x\in\mathbb R$.

Théorème de convergence :

• Pour tout $x\in \rm ]-R~ ;R[$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ converge absolument.
  L’intervalle $\rm ]-R~ ;R[$ est appelé intervalle ouvert de convergence de la série $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$.
• Pour tout segment inclus dans $\rm ]-R~ ;R[$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ converge normalement.
• Pour tout $|x|> \rm R$, $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ diverge grossièrement.
• Pour $x=\rm R$ ou $x=-\rm R$, il faut étudier les séries précisément.

Théorème d’intégration :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ de rayon de convergence $\rm R>0$.

$x \mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n+1}\mathcal x^{n+1}$ est la primitive sur $\rm ]-R~ ;R[$ s’annulant en $0$ de $x \mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^{n}$.

Théorème de dérivation :

Soit $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ de rayon de convergence $\rm R>0$.

$\rm S : \mathcal x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\mathcal x^{n}$ est de classe $\rm C^{\infty}$ sur $\rm ]-R~ ;R[$.

Pour tout $\rm p\in \mathbb N$, pour tout $x\in \rm ]-R ~;R[$, $\rm S^{(p)}(\mathcal x)$ $=\displaystyle \rm \sum_{n=p}^{+\infty}n(n-1)\ldots(n-p+1)a_n\mathcal x^{n-p}$ $=\displaystyle \rm \sum_{n=0}^{+\infty}(n+p)(n+p-1)\ldots(n+1)a_{n+p}\mathcal x^n$

Théorème :

Pour tout $\rm n\in\mathbb N$, $\displaystyle \rm a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n !}$.

Théorème d’identification :

Soient $\displaystyle \rm \sum a_n\mathcal x^n$ et $\displaystyle \rm \sum b_n\mathcal x^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectifs $\rm R_a>0$ et $\rm R_b>0$.
Si les fonctions $x\mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \mathcal x^{n}$ et $x\mapsto \displaystyle\rm \sum_{n=0}^{+\infty}b_n \mathcal x^{n}$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $\rm n$, $\rm a_n=b_n$.