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Intégrales sur un intervalle quelconque

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Intégrales sur un intervalle quelconque - Partie 1

Méthode 1 : Étudier des intégrales convergentes

Définition :

Soient aR et bR{+} avec a<b.
Soit f:[a,b[K continue par morceaux.
L’intégrale de f sur [a ;b[ converge si xaf(t)dt converge quand xb.

Dans ce cas, [a ; b[f(t)dt=baf(t)dt =limxbxaf(t)dt.

Définition :

Soient aR{} et bR avec a<b.
Soit f:]a,b]K continue par morceaux.
L’intégrale de f sur ]a ;b] converge si bxf(t)dt converge quand xa+.

Dans ce cas, ]a ; b]f(t)dt=baf(t)dt =limxa+bxf(t)dt.

Définition :

Soient aR{} et bR{+}.
Soit f:]a ;b[R continue par morceaux.
L’intégrale de f sur ]a ;b[ converge si pour c]a ;b[, les intégrales de f sur ]a ;c] et sur [c ;b[ convergent.

Dans ce cas, ]a ; b[f=]a ; c]f+[c ; b[f.

Propriétés :

Soient f,g:IK continues par morceaux avec I intervalle de R.

  • Si les intégrales If et Ig convergent :
  • Si If converge et si f0, alors If0.
  • Si If converge, si f0 et si If=0, alors f est la fonction nulle.
  • Si If converge, alors Iˉf converge et Iˉf=¯If

Théorème de comparaison de fonctions positives :

Soient f,g:[a ;+[R continues par morceaux avec 0fg.
Si +ag converge alors +af converge.
Si +af diverge alors +ag diverge.

Théorème :

Soit f:[a ;+[R continue de primtive F.

Il y a équivalence entre :

  • +af(t)dt converge.
  • F(x) converge quand x+.

On a alors : +af(t)dt =limx+F(x)F(a) =[F(x)]+a

Théorème :

Si f est continue et si +af converge alors ddx(+af)=f(x).

Théorème : Relation de Chasles

Soit f:IC continue par morceaux telle que If converge.
Pour tous a,b,c éléments ou extrémités de I :
baf(t)dt =caf(t)dt+bcf(t)dt

Et les intégrales convergent.

Méthode 2 : Critères d'intégralité

  • Intégrabilité sur un intervalle quelconque

Théorème :

Soit f:IR continue par morceaux et positive.

Il y a équivalence entre les propositions suivantes :

  • If converge
  • Il existe MR, tel que pour tout [α,β]I, βαfM

Définition :

Soit f:IK fonction continue par morceaux.
f est intégrable sur I si I|f(t)|dt converge.
L’intégrale If(t)dt est absolument convergente.

Théorème :

Si f intégrable sur I, alors If converge et |If|I|f|

Théorème :

Soient f,g:IK continues par morceaux et α,βK.
Si f et g sont intégrables alors αf+βg est intégrable.

  • Utiliser la comparaison de fonctions 

Théorème :

Soient f:IR et g:IR+ continues par morceaux.
Si pour tout tI, |f(t)|g(t) avec g intégrable alors f est intégrable.

Théorème de comparaison asymptotique :

Soient f:[a ;b[R et g:[a ;b[R continues par morceaux avec aR et bR{+}.
Si f(t)=tbO(g(t)) et si g intégrable alors f intégrable.
Soient f,g:[a ;b[R+ continues par morceaux.
Si f(t)tbg(t) alors [a ; b[f et [a ; b[g ont même nature.

  • Utiliser des intégrales usuelles

Théorème : Intégrales de Riemann

Soit αR.
+11tαdt converge si et seulement si α>1.

Théorème :

Soit a<b deux réels et αR. badt(ta)α converge si et seulement si α<1.

Théorème :

Pour α,βR, +edttα(lnt)β converge si et seulement si α>1 ou (α=1 et β>1).

Méthode 3 : Applications aux calculs d'intégrales

Théorème de changement de variables :

Soient f continue sur ]a ;b[ et φ:]α ;β[]a ;b[ bijective, strictement croissante et de classe C1.
Alors les intégrales baf(t)dt et βαf(φ(u))φ(u)du
Sont de même nature et en cas de convergence :

baf(t)dt=βαf(φ(u))φ(u)du.

Théorème d’intégration par parties :

Soient I un intervalle d’extrémités a<bˉR et u,v:IK de classe C1.

En cas de convergence :

bau(t)v(t)dt =[uv]ba+bau(t)v(t)dt.

Intégrales sur un intervalle quelconque - Partie 2

Méthode 1 : Étudier le passage à la limite sous l'intégrale

Théorème de convergence dominée :

Soit $(f_{\rm n})$ suite de fonctions de $\rm I$ dans $\mathbb K$ telle que :

  • Les $(f_{\rm n})$ sont continues par morceaux sur $\rm I$.
  • La suite $(f_{\rm n})$ converge simplement sur $\rm I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux.
  • Il existe une fonction $\varphi$ positive, intégrable sur $\mathbb I$ telle que $|f_{\rm n}|\leq \varphi$ pour tout $\rm n\in\mathbb N$ (hypothèse de domination).

Alors les fonctions $f_{\rm n}$ et $f$ sont intégrables sur $\rm I$ et $\displaystyle \int_{\mathrm I} f_{\rm n}$ converge vers $\displaystyle \int_{\mathrm I} f$.

Théorème d'intégration terme à terme :

Soit $\displaystyle \sum f_{\rm n}$ série de fonctions de $\rm I$ dans $\mathbb K$ telle que :

  • Les $(f_{\rm n})$ sont continues par morceaux et intégrables sur $\rm I$.
  • $\displaystyle \sum f_{\rm n}$ converge simplement sur $\rm I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux.
  • $\displaystyle \sum \int_{\mathrm I}|f_{\rm n}\rm (t)|dt$ converge.

Alors $f$ est intégrable sur $\rm I$ et $\displaystyle \int_{\mathrm I} f\mathrm{(t)dt}$ $\displaystyle = \sum_{\mathrm n=0}^{+\infty} \int_{\mathrm I} f_{\rm n}\rm (t)dt$.

Méthode 2 : Étudier la continuité d'une intégrale à paramètres

Théorème :

Soient $\rm X$ intervalle de $\mathbb R$, $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $\rm X \times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. Si :

  • $f$ est continue par rapport à la première variable.
  • $f$ est continue par morceaux par rapport à la seconde variable.
  • Il existe une fonction $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x \in \rm X$, $|f(x,\cdot)|\leq \varphi$ (hypothèse de domination).

Alors $g : x\mapsto \displaystyle \int_{\mathrm I} f(x,\rm t)dt$ est définie et continue sur $\rm X$.

Remarque :

L'hypothèse de domination peut être remplacée par une hypothèse de domination locale : pour tout $\rm [a ~; b]\subset X$, il existe $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x\in\rm [a ~;b]$, $|f(x,\cdot)|\leq \varphi$.

Méthode 3 : Étudier la dérivation d'une intégrale à paramètres

Théorème :

Soient $\rm X$ intervalle de $\mathbb R$, $\rm I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $\rm X\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. Si :

  • Pour tout $x\in \rm X$, $\mathrm t\mapsto f(x,\mathrm t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $\rm I$.
  • $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est définie sur $\rm X\times I$, continue par rapport à la première variable.
  • $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ est continue par morceaux par rapport à la seconde variable.
  • Il existe une fonction $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x \in \rm X$, $\displaystyle \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\right|\leq \varphi$ (hypothèse de domination).

Alors $g :x\mapsto \displaystyle \int_{\mathrm I} f(x,\rm t)dt$ est de classe $\rm C^1$ sur $\rm X$ et pour tout $x \in \rm X$, $g'(x)=\displaystyle\int_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,\rm t)dt$.

Remarque :

L'hypothèse de domination peut être remplacée par une hypothèse de domination locale : pour tout $\rm [a ~;b]\subset X$, il existe $\varphi$ positive, continue par morceaux, intégrable sur $\rm I$ telle que pour tout $x\in\rm [a~ ;b]$, $\displaystyle \bigg|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot)\bigg|\leq \varphi$.

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