Méthode 1 : Étudier des intégrales convergentes
Définition :
Soient a∈R et b∈R∪{+∞} avec a<b.
Soit f:[a,b[→K continue par morceaux.
L’intégrale de f sur [a ;b[ converge si ∫xaf(t)dt converge quand x→b−.
Dans ce cas, ∫[a ; b[f(t)dt=∫baf(t)dt =limx→b−∫xaf(t)dt.
Définition :
Soient a∈R∪{−∞} et b∈R avec a<b.
Soit f:]a,b]→K continue par morceaux.
L’intégrale de f sur ]a ;b] converge si ∫bxf(t)dt converge quand x→a+.
Dans ce cas, ∫]a ; b]f(t)dt=∫baf(t)dt =limx→a+∫bxf(t)dt.
Définition :
Soient a∈R∪{−∞} et b∈R∪{+∞}.
Soit f:]a ;b[→R continue par morceaux.
L’intégrale de f sur ]a ;b[ converge si pour c∈]a ;b[, les intégrales de f sur ]a ;c] et sur [c ;b[ convergent.
Dans ce cas, ∫]a ; b[f=∫]a ; c]f+∫[c ; b[f.
Propriétés :
Soient f,g:I→K continues par morceaux avec I intervalle de R.
- Si les intégrales ∫If et ∫Ig convergent :
- Si ∫If converge et si f≥0, alors ∫If≥0.
- Si ∫If converge, si f≥0 et si ∫If=0, alors f est la fonction nulle.
- Si ∫If converge, alors ∫Iˉf converge et ∫Iˉf=¯∫If
Théorème de comparaison de fonctions positives :
Soient f,g:[a ;+∞[→R continues par morceaux avec 0≤f≤g.
Si ∫+∞ag converge alors ∫+∞af converge.
Si ∫+∞af diverge alors ∫+∞ag diverge.
Théorème :
Soit f:[a ;+∞[→R continue de primtive F.
Il y a équivalence entre :
- ∫+∞af(t)dt converge.
- F(x) converge quand x→+∞.
On a alors : ∫+∞af(t)dt =limx→+∞F(x)−F(a) =[F(x)]+∞a
Théorème :
Si f est continue et si ∫+∞af converge alors ddx(∫+∞af)=−f(x).
Théorème : Relation de Chasles
Soit f:I→C continue par morceaux telle que ∫If converge.
Pour tous a,b,c éléments ou extrémités de I :
∫baf(t)dt =∫caf(t)dt+∫bcf(t)dt
Et les intégrales convergent.
Méthode 2 : Critères d'intégralité
- Intégrabilité sur un intervalle quelconque
Théorème :
Soit f:I→R continue par morceaux et positive.
Il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- ∫If converge
- Il existe M∈R, tel que pour tout [α,β]⊂I, ∫βαf≤M
Définition :
Soit f:I→K fonction continue par morceaux.
f est intégrable sur I si ∫I|f(t)|dt converge.
L’intégrale ∫If(t)dt est absolument convergente.
Théorème :
Si f intégrable sur I, alors ∫If converge et |∫If|≤∫I|f|
Théorème :
Soient f,g:I→K continues par morceaux et α,β∈K.
Si f et g sont intégrables alors αf+βg est intégrable.
- Utiliser la comparaison de fonctions
Théorème :
Soient f:I→R et g:I→R+ continues par morceaux.
Si pour tout t∈I, |f(t)|≤g(t) avec g intégrable alors f est intégrable.
Théorème de comparaison asymptotique :
Soient f:[a ;b[→R et g:[a ;b[→R continues par morceaux avec a∈R et b∈R∪{+∞}.
Si f(t)=t→b−O(g(t)) et si g intégrable alors f intégrable.
Soient f,g:[a ;b[→R+ continues par morceaux.
Si f(t)∼t→b−g(t) alors ∫[a ; b[f et ∫[a ; b[g ont même nature.
- Utiliser des intégrales usuelles
Théorème : Intégrales de Riemann
Soit α∈R.
∫+∞11tαdt converge si et seulement si α>1.
Théorème :
Soit a<b deux réels et α∈R. ∫badt(t−a)α converge si et seulement si α<1.
Théorème :
Pour α,β∈R, ∫+∞edttα(lnt)β converge si et seulement si α>1 ou (α=1 et β>1).
Méthode 3 : Applications aux calculs d'intégrales
Théorème de changement de variables :
Soient f continue sur ]a ;b[ et φ:]α ;β[→]a ;b[ bijective, strictement croissante et de classe C1.
Alors les intégrales ∫baf(t)dt et ∫βαf(φ(u))φ′(u)du
Sont de même nature et en cas de convergence :
∫baf(t)dt=∫βαf(φ(u))φ′(u)du.
Théorème d’intégration par parties :
Soient I un intervalle d’extrémités a<b∈ˉR et u,v:I→K de classe C1.
En cas de convergence :
∫bau′(t)v(t)dt =[uv]b−a+−∫bau(t)v′(t)dt.