Séries numériques

1) Définition :

Définition :

Une série $\displaystyle \sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(\mathrm S_n)_{n\in\mathbb N}$ avec $\mathrm S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k$ converge.

On note $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k$.

Théorème :

Si la série $\displaystyle \sum u_n$ converge, alors la suite $(u_n)_n$ tend vers $0$.
Remarque : Si $(u_n)_n$ ne tend pas vers $0$, on dit que la série $\displaystyle \sum u_n$ diverge grossièrement.

2) Utiliser le lien suite et série :

Théorème :

La suite $(u_\rm n)$ et la série $\displaystyle\sum (u_{\mathrm n+1}-u_\mathrm n)$ sont de même nature.

3) Opérations :

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries convergentes et $\lambda \in \mathbb K$.
Alors $\displaystyle\sum \lambda u_n$ et $\displaystyle\sum u_n+v_n$ sont des séries convergentes.

4) Convergence absolue :

Définition :

Soit $(u_n)$ une suite réelle ou complexe.
$\displaystyle\sum u_n$ converge absolument si $\displaystyle\sum |u_n|$ converge.

Théorème :

Si $\displaystyle\sum u_n$ converge absolument, alors la série converge.

5) Cas des séries à termes positifs :

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_n$ et $\displaystyle\sum v_n$ deux séries à termes positifs telles que pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n \leq v_n$.

1. Si $\displaystyle\sum v_n$ converge, alors $\displaystyle\sum u_n$ converge.
2. Si $\displaystyle\sum u_n$ diverge, alors $\displaystyle\sum v_n$ diverge.

Théorème :

Soient $\displaystyle\sum u_\rm n$ et $\displaystyle\sum v_\rm n$ deux séries à termes positifs.
Si $\displaystyle u_\mathrm n \sim v_\mathrm n$, alors les séries $\displaystyle\sum u_\rm n$ et $\displaystyle\sum v_\rm n$ ont même nature.

6) Séries de références :

Théorème (séries géométriques) :

Soit $q\in\mathbb C$.

1. Si $|q|\geq 1$, alors $\displaystyle\sum q^n$ diverge grossièrement.
2. Si $|q|<1$, alors $\displaystyle\sum q^n$ converge absolument et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$

Théorème (série exponentielle) :

Pour tout réel $x$, la série $\displaystyle\sum\frac{x^n}{n !}$ converge et

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n !}=e^x$

Théorème (Séries de Riemann) :

$\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Règle de d’Alembert :

Soit $\displaystyle \sum u_\rm n$ une série de termes non nuls.
On suppose que $\displaystyle \bigg|\frac{u_{\mathrm n+1}}{u_\rm n}\bigg|\to \rm I$ avec $\mathrm{I\in\mathbb R^+ \cup \{+\infty\}}$.
Si $\mathrm{I>1}$, $\displaystyle\sum u_\rm n$ diverge grossièrement.
Si $\mathrm{I=1}$, on ne peut rien conclure.
Si $\mathrm{I<1}$, $\displaystyle\sum u_\rm n$ converge absolument.

7) Identifier une série alternée :

Définition :

Une série $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ est alternée si pour tout $\mathrm{n\in\mathbb N}$, $u_{\rm n}=(-1)^n$ $|u_{\rm n}|$ ou $u_{\rm n}=(-1)^{\rm n+1}$ $|u_{\rm n}|$.

Théorème (critère spécial des séries alternées) :

Soit $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ une série alternée.
Si $\left(|u_{\rm n}|\right)_{n\geq 0}$ est une série décroissante tendant vers $0$, alors $\displaystyle\sum u_{\rm n}$ converge.
De plus, le reste $\mathrm{R_n} =\displaystyle \sum_{\mathrm{k=n+1}}^{+\infty} u_{\rm k}$ est du signe de $u_{\rm n+1}$ et $\mathrm{|R_n|}\leq |u_{\rm n+1}|$.