1. Sommes de variables aléatoires

Propriétés :

Soient X,Y variables aléatoires réelles.

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Définition :

La covariance de X et Y est :

Cov(X,Y)=E((XE(X))(YE(Y))) =E(XY)E(X)E(Y)

Cov(X,X)=V(X)

Théorème :

Si X et Y sont indépendantes, Cov(X,Y)=0.

Attention, la réciproque est fausse.

Théorème :

V(X+Y)=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y).

Théorème :

  • Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois B(n1,p) et B(n2,p), alors X1+X2 suit une loi B(n1+n2,p).
  • Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois P(λ1) et P(λ2), alors X1+X2 suit une loi P(λ1+λ2).

Théorème :

Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois N(m1,σ21) et N(m2,σ22) alors X1+X2 suit une loi N(m1+m2,σ21+σ22).

2. Suite de variables aléatoires réelles

Définitions :

Soient X1,,Xn des variables aléatoires réelles.
Les variables X1,,Xn sont mutuellement indépendantes si :

Pour tout choix de n intervalles réels I1,,In, les événements (X1I1),,(XnIn) sont mutuellement indépendants.

Les variables aléatoires de la suite (Xn)nN sont dites mutuellement indépendantes si, pour tout entier n>1, les variables aléatoires X1,,Xn sont mutuellement indépendantes.

Lemme des coalitions :

Si X1,X2,,Xn, sont mutuellement indépendantes, toute variable aléatoire fonction de X1,X2,,Xp est indépendante de toute variable aléatoire fonction de Xp+1,Xp+2,,Xn

Propriétés :

  • Si X1,X2,,Xn sont mutuellement indépendantes et admettent toutes une espérance, alors le produit X1Xn admet aussi une espérance et E(X1Xn)=E(X1)××E(Xn)
  • Si X1,X2,,Xn sont indépendantes deux à deux et admettent toutes une variance, alors la somme X1++Xn admet aussi une variance et V(X1++Xn) =V(X1)++V(Xn).

Théorème :

La somme de n variables aléatoires de Bernoulli mutuellement indépendantes et de même espérance p suit la loi binomiale B(n,p).

Théorèmes :

  • Soit X1,X2,,Xn des variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètres respectifs (m1,p)(mn,p)
    Si X1,X2,,Xn sont mutuellement indépendantes, la variable somme X1++Xn suit une loi binomiale de paramètre (m1++mn,p).
  • Soit X1,X2,,Xn des variables aléatoires suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ1,,λn.
    Si X1,X2,,Xn sont mutuellement indépendantes, la variable somme X1++Xn suit une loi de Poisson de paramètre λ1++λn.