1. Sommes de variables aléatoires
Propriétés :
Soient X,Y variables aléatoires réelles.
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
Définition :
La covariance de X et Y est :
Cov(X,Y)=E((X−E(X))(Y−E(Y))) =E(XY)−E(X)E(Y)
Cov(X,X)=V(X)
Théorème :
Si X et Y sont indépendantes, Cov(X,Y)=0.
Attention, la réciproque est fausse.
Théorème :
V(X+Y)=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y).
Théorème :
- Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois B(n1,p) et B(n2,p), alors X1+X2 suit une loi B(n1+n2,p).
- Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois P(λ1) et P(λ2), alors X1+X2 suit une loi P(λ1+λ2).
Théorème :
Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois N(m1,σ21) et N(m2,σ22) alors X1+X2 suit une loi N(m1+m2,σ21+σ22).
2. Suite de variables aléatoires réelles
Définitions :
Soient X1,…,Xn des variables aléatoires réelles.
Les variables X1,…,Xn sont mutuellement indépendantes si :
Pour tout choix de n intervalles réels I1,…,In, les événements (X1∈I1),…,(Xn∈In) sont mutuellement indépendants.
Les variables aléatoires de la suite (Xn)n∈N∗ sont dites mutuellement indépendantes si, pour tout entier n>1, les variables aléatoires X1,…,Xn sont mutuellement indépendantes.
Lemme des coalitions :
Si X1,X2,…,Xn, sont mutuellement indépendantes, toute variable aléatoire fonction de X1,X2,…,Xp est indépendante de toute variable aléatoire fonction de Xp+1,Xp+2,…,Xn
Propriétés :
- Si X1,X2,…,Xn sont mutuellement indépendantes et admettent toutes une espérance, alors le produit X1…Xn admet aussi une espérance et E(X1…Xn)=E(X1)×…×E(Xn)
- Si X1,X2,…,Xn sont indépendantes deux à deux et admettent toutes une variance, alors la somme X1+…+Xn admet aussi une variance et V(X1+…+Xn) =V(X1)+…+V(Xn).
Théorème :
La somme de n variables aléatoires de Bernoulli mutuellement indépendantes et de même espérance p suit la loi binomiale B(n,p).
Théorèmes :
- Soit X1,X2,…,Xn des variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètres respectifs (m1,p)…(mn,p)
Si X1,X2,…,Xn sont mutuellement indépendantes, la variable somme X1+…+Xn suit une loi binomiale de paramètre (m1+…+mn,p). - Soit X1,X2,…,Xn des variables aléatoires suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ1,…,λn.
Si X1,X2,…,Xn sont mutuellement indépendantes, la variable somme X1+…+Xn suit une loi de Poisson de paramètre λ1+…+λn.