Suites numériques. Raisonnement par récurrence

1) Définition :

Une suite à valeurs réelles est une application de ${\Bbb N}$ dans ${\Bbb R}$.

A chaque entier naturel $n$ (qu'on appelle un indice ou un rang), on associe un réel. 

Exemple :

L'application $u: {\Bbb N} \rightarrow {\Bbb R}$ définie par $u(n) = (-2)^n$ est une suite.
Elle se note aussi $(u_n)_{n \in {\Bbb N} }$. 

Remarque :

• Ne pas confondre la suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ et le terme $u_n$. Quand on met les parenthèses, il s'agit d'une suite c'est-à-dire d'une application. 

Quand on ne met pas les parenthèses, il s'agit d'un terme particulier de la suite donc d'un réel. 

En reprenant l'exemple précédent, on peut aussi écrire $(u_n)_{n \in {\Bbb N}} = (1,-2,4,-8,16,\ldots)$ alors que par exemple $u_4$ est un terme particulier de la suite en l'occurence le nombre 16.

• Une suite ne commence pas forcément au rang $0$. Par exemple la suite $(u_n)_{n \ge 2} = \left(\frac{1}{n(n-1)}\right)_{n \ge 2}$ commence au rang $n=2$. 

Définition :

Une suite à valeurs complexes est une application de ${\Bbb N}$ dans ${\Bbb C}$.

Exemple :

La suite $(i^n)_{n \in {\Bbb N}} = (1,i,-i,-1,\ldots)$ est une suite à valeurs complexes. 

2) Vocabulaire sur les suites.

Dans ce qui va suivre on considère des suites réelles qui commencent à partir du rang $0$ mais les notions s'appliquent également à des suites réelles qui commenceraient à des rangs autres que $0$.

• Une suite est croissante si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_n \le u_{n+1}$.

• Une suite est strictement croissante si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_n < u_{n+1}$.

• Une suite est décroissante si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_n \ge u_{n+1}$.

• Une suite est strictement décroissante si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_n > u_{n+1}$.

• Une suite est monotone si elle est soit croissante soit décroissante.

• Une suite est strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

• Une suite est constante si $\forall n \in {\Bbb N}$, $u_n = a$ avec $a$ une constante.

Exemple :

• La suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}} = ((-1)^n)_{n \in {\Bbb N}} = (1,-1,1,-1, \ldots )$ n'est ni croissante ni décroissante : elle est non monotone.

• La suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N^*}} = \left(\frac{1}{n}\right)_{n \ge 1}$ est strictement décroissante car si, pour tout entier $n$ tel que $1 \le n < n+1$ alors $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ c'est-à-dire $u_{n+1} < u_n$.

Remarque :

Si on écrit $\forall n \in {\Bbb N}$, $n \le 2n$ cela ne prouve pas que la suite $(u_n)_{n\in{\Bbb N}} = (n)_{n\in{\Bbb N}}$ est majorée car $2n$ n'est pas CONSTANTE. En fait la suite $(n)_{n \in \Bbb N}$ n'est pas majorée car elle tend vers $+\infty$.

Méthode :

En général, pour étudier la monotonie d'une suite (on dit aussi son sens de variation) c'est-à-dire savoir si elle est croissante ou décroissante, on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. 

Si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_{n+1} - u_n \le 0$ alors $u_{n+1} \le u_n$ et donc la suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est décroissante.

Si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_{n+1} - u_n \ge 0$ alors $u_{n+1} \ge u_n$ et donc la suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est croissante.

Définition :

• Une suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est majorée s'il existe une constante réelle $M$ telle que $\forall n \in {\Bbb N} , u_n \le M$.

• Une suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est minorée s'il existe une constante réelle $m$ telle que $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$

• Une suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème :

Une suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est bornée s'il existe une constante $K$ telle que $\forall n \in {\Bbb N} $, $|u_n| \le K$.

Exemple :

La suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}} = ((-1)^n)_{n \in {\Bbb N}} = (1,-1,1,-1, \ldots )$ est bornée car $\forall n \in {\Bbb N} $, $-1 \le u_n \le 1$ ce qui revient à écrire $\forall n \in {\Bbb N} $, $|u_n| \le 1$.

La suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}} = (n(1-(-1)^n))_{n \in {\Bbb N}} = (0,2,0,6,0,10 \ldots )$ est minorée mais non majorée de sorte qu'elle n'est pas bornée. 

3) Suite définie par récurrence.

Définition :

Soit $f$ une fonction. Une suite $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est définie par récurrence si $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_{n+1} = f(u_n)$.

Parmi les suites définies par récurrence, il y a :

• Les suites arithmétiques $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_{n+1} = u_n + r$ avec $r$ une constante (appelée la raison).
  

• Les suites géométriques $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_{n+1} = q u_n$ avec $q$ une constante (appelée la raison).
  

Théorème :

• Si $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est suite arithmétique de raison $r$ alors $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_n = u_0+nr$.
  
• Si $(u_n)_{n \in {\Bbb N}}$ est suite géométrique de raison $q$ alors $\forall n \in {\Bbb N} $, $u_n = u_0q^n$.
  

Principe du raisonnement par récurrence.

Il s'agit de montrer une propriété qui dépend de l'entier naturel $n$. Notons $P(n)$ cette propriété. 

Par exemple, $P(n) : \displaystyle{1+2+3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$.

Le principe du raisonnement par récurrence consiste à montrer d'abord $P(0)$ c'est-à-dire la propriété au rang $0$. Cette étape s'appelle l'initialisation. 

Ensuite, on suppose que $P(n)$ est vraie pour UN entier $n$ donné. Cette supposition s'appelle l'hypothèse de récurrence. 

Puis on montre $P(n+1)$. Cette étape s'appelle l'hérédité ou la transmission. 

Ces deux étapes permettent de conclure que la propriété est vraie pour TOUS les entiers naturels $n$.

Exemple 1 :

Montrer par récurrence que $\displaystyle{ \forall n \in {\Bbb N}^*, 1+2+3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$.

Remarque : ici la propriété $P(n) : \displaystyle{1+2+3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$ est à montrer pour tous les entiers $n \ge 1$ donc l'initialisation commencera à $n=1$.

Initialisation :

On a bien $1 = \frac{1(1+1)}{2}$. Donc la propriété à montrer est vraie au rang $1$. 

Hérédité :

Supposons que la propriété est vraie pour UN rang $n$ donné (c'est l'hypothèse de récurrence). Montrons-la au rang $n+1$. 

D'après l'hypothèse de récurrence, $\displaystyle{1+2+3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}}$. On en déduit que $\displaystyle{1+2+3 + \ldots + n + (n+1)}$ $\displaystyle{= (1+2+3 + \ldots + n) + (n+1)}$ $\displaystyle{= \frac{n(n+1)}{2} + n+1}$. 

Or $\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} + n+1}$ $\displaystyle{= \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$. 

On a donc $\displaystyle{1+2+3 + \ldots + n + (n+1) = \frac{(n+1)(n+1 + 1)}{2}}$. 

Ce qui prouve la propriété au rang $n+1$. 

Exemple 2 :

Montrer que pour tout réel $x$ positif et pour tout entier naturel $n$ : $(1+x)^n \ge 1+nx$.

Initialisation :

On a $(1+x)^0 = 1$ (par définition n'importe quel nombre à la puissance $0$ vaut $1$).

On a $1+0x = 1$. 

Comme $1 \ge 1$, on a bien $(1+x)^{0} \ge 1+0.x$.

(En fait, dans le cas particulier de $n=0$, il y a même égalité.)

Hérédité :

On suppose que l'inégalité à montrer est vraie pour UN entier naturel $n$ (c'est l'hypothèse de récurrence). 

Montrons l'inégalité au rang $n+1$. 

Partons de l'hypothèse de récurrence: $(1+x)^n \ge 1+nx$.

Multiplions cette inégalité par $1+x$ qui est positif car $x$ l'est :

$(1+x)^n(1+x) \ge (1+nx)(1+x)$ ce qui donne $(1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)$ $= 1+x +nx +nx^2$ $= 1 + (n+1)x + nx^2$.

Comme $nx^2 \ge 0$, on a $1 + (n+1)x + nx^2 \ge 1 + (n+1)x$. On a donc $(1+x)^{n+1} \ge 1 + (n+1)x$.

On a donc montré la propriété au rang $n+1$.