Compléments sur les intervalles de confiance

Théorème :

Si $X_1$ et $X_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois $\mathcal{N}(m_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(m_2,\sigma_2^2)$ alors $X_1 + X_2$ suit une loi $\mathcal{N}(m_1+m_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$.

Intervalle de confiance pour une différence de moyennes :

Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes supposées suivre respectivement des lois $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ avec $\sigma_1$ et $\sigma_2$ connues.

Soit deux échantillons de tailles respectives $n_1$ et $n_2$ sur lesquelles les moyennes observées sont $m_1$ et $m_2$.

$ic_{1-\alpha}(\mu_1-\mu_2)=(m_1-m_2) \pm u_{\alpha}\times \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$

La valeur de $u_{\alpha}$ s’obtient dans la table de la loi normale centrée réduite. Elle vaut par exemple 1,96 lorsque l’on recherche un intervalle de confiance au niveau 95% (donc au risque $\alpha=$5%).

Intervalle de confiance pour une différence de proportions :

Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires supposées suivre des lois de Bernoulli de paramètres $\theta_1$, $\theta_2$. 

Soit deux échantillons de tailles respectives $n_1$ et $n_2$ (avec $n_1,n_2\geq 30$) sur lesquelles les proportions observées sont $p_1$ et $p_2$.

$ic_{1-\alpha}(\theta_1-\theta_2)=(p_1-p_2) \pm u_{\alpha}\times \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$

La valeur de $u_{\alpha}$ s’obtient dans la table de la loi normale centrée réduite. Elle vaut par exemple 1,96 lorsque l’on recherche un intervalle de confiance au niveau 95% (donc au risque $\alpha=$5%).

Intervalle de confiance pour le quotient de deux variances :

Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes supposées suivre respectivement des lois $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ et $\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ avec $\sigma_1$ et $\sigma_2$ que l’on cherche à estimer.

Soit deux échantillons de tailles respectives $n_1$ et $n_2$ sur lesquelles les variances observées sont $s_1^1$ et $s_2^2$.

Un intervalle de confiance pour le quotient de deux variances $\displaystyle\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ est compris entre :

$\displaystyle\frac{s_1^2}{s_2^2}F_{\frac{\alpha}{2};n_1-1;n_2-1}$
et $\displaystyle\frac{s_1^2}{s_2^2}F_{1-\frac{\alpha}{2};n_1-1;n_2-1}$

Avec $F$ obtenus dans la table de la loi de Fisher-Snedecor.