Principe des tests
Un test statistique (ou test d’hypothèse) permet de choisir entre deux hypothèses en fonction des résultats obtenus sur un ou deux échantillons par rapport à un risque $\alpha$ fixé à l’avance (a priori).
$H_0$= « Il n’y a pas de différence » (hypothèse nulle)
$H_1$= « Il y a une différence » (hypothèse alternative)
L’hypothèse $H_0$ doit toujours être faite sur les paramètres de la population.
Si on rejette $H_0$, on peut conclure qu’il y a une différence significative au risque $\alpha$.
Si on veut savoir s’il existe une différence quel que soit le sens de cette différence, on réalise un test bilatéral (par exemple : $H_1$ : $\mu_A\neq \mu_B$).
Si on souhaite privilégier un sens, on réalise un test unilatéral. On doit alors préciser l’hypothèse (par exemple : $H_1$ : $\mu_A > \mu_B$).
L’hypothèse alternative doit être posée a priori, avant de réaliser le test.
Méthode de résolution d’un test :
• On formule les hypothèses $H_0$ et $H_1$ du test
• On identifie le test à utiliser
• On se fixe un risque $\alpha$ (par exemple 5%)
• On vérifie les conditions de validité éventuelles du test
• On calcule le paramètre du test $z$
• On détermine la valeur seuil $z_\alpha$ en fonction du risque $\alpha$
• On conclut le test : si $|z|\geq z_\alpha$, on rejette $H_0$.
En cas de rejet de $H_0$, on peut déterminer le degré de signification (p-value) : c’est la plus petite valeur de risque pour laquelle il y a rejet de $H_0$. On l’obtient par exemple par lecture de la table de l’écart-réduit pour le test $z$.
L’arbre suivant résume les cas possibles à l’issue d’un test statistique :
$\alpha$ est le risque de première espèce.
$1-\alpha$ représente le niveau de confiance.
$\beta$ représente le risque de deuxième espèce.
$1-\beta$ correspond à la puissance du test.
