Tests du Khi-deux

Tests du Khi-deux

•     Test du Khi-deux d’ajustement d’une distribution expérimentale à une distribution théorique (1 population, 1 caractère)

On considère une distribution expérimentale (observée) d’effectif $N$. On souhaite savoir si la distribution expérimentale est conforme à une distribution théorique.

On suppose que le caractère étudié possède $n$ modalités.
On note $O_i$ l’effectif observé pour la classe de modalité $i$.

D’après la distribution théorique, il y a une probabilité $P_i$ pour qu’un individu présente le caractère correspondant à la modalité $i$.
On appelle $T_i=N\times P_i$ l’effectif théorique pour chaque modalité $i$.

Remarques :

• Un effectif théorique n’est pas toujours un nombre entier mais on n’arrondit pas le résultat afin que les calculs soient le plus précis possible.

  On doit retrouver $\displaystyle\sum_{i=1}^n T_i=N$. Il faut donc dans certains cas rajouter des classes supplémentaires pour les calculs d’effectifs théoriques correspondant à des classes pour lesquelles aucune valeur n’avait été observée dans l’échantillon.

Principe du test du $\chi^2$ de Pearson (ici test d’ajustement = test de conformité = test d’adéquation) :

Pour effectuer un test du $\chi^2$, il faut vérifier des conditions d’utilisation : $N\geq 30$, $n_i\geq 5$ pour tout $i$ où $n_i$ représente les effectifs de classe.

Si $n_i<5$, il faut regrouper des classes.

$\nu=n’-1$ indique le nombre de degrés de liberté du test avec $n’$ le nombre de classes après regroupement éventuel.

•   $H_0$ : « Il y a conformité entre la distribution expérimentale et la distribution théorique » 
  
•  $\chi^2=\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-T_i)^2}{T_i}$
• On conclut au risque $\alpha$ en lisant $\chi^2_0$ dans la table du $\chi^2$ de Pearson (avec comme paramètres $\nu$ et $\alpha$).
•  Si $\chi^2< \chi^2_0$ on ne rejette pas $H_0$ 
• Sinon on rejette $H_0$.

Remarque : Pour $\alpha$=5% et ddl=1, $\chi^2_0=3,84$.

Equivalence avec le test « z » :

En notant $p$ la proportion observée sur un échantillon de taille $n$ et $\pi_ {th}$ la proportion théorique, il y a équivalence entre un test « z » de comparaison proportion observée/proportion théorique et un test du Khi-deux de conformité à 1 ddl avec :

$O_1=n\times p$, $O_2=n\times (1-p)$

$T_1=n\times \pi_{th}$, $T_2=n\times (1-\pi_{th})$

• Test du Khi-deux d’association entre caractères qualitatifs (1 population, 2 caractères)

On considère une population qui possède 2 caractères qualitatifs $A$ et $B$ qui peuvent posséder plusieurs modalités : $A_j$ et $B_i$.

On obtient le tableau de contingence suivant avec $O_{ij}$ les effectifs observés :

Les effectifs théoriques (indiqués ici entre parenthèses) se calculent de la façon suivante: $T_{ij}=\displaystyle\frac{n_i\times n’_j}{N}$

$\nu=(k-1)(l-1)$ représente le nombre de degrés de liberté du test.

Principe du test du $\chi^2$ de Pearson (ici test d’indépendance) :

Pour effectuer le test, il faut vérifier des conditions d’utilisation : $N\geq 30$, $n\geq 5$ où $n$ représente les effectifs de classe.

$\chi^2=\displaystyle\sum_{i=1}^l\sum_{j=1}^k\frac{(O_{ij}-T_{ij})^2}{T_{ij}}$

Si $30\leq N<50$ et $n<5$ on utilise la formule avec la correction de Yates (elle n’est valable que pour les tableaux $2\times 2$) : $\chi^2=\displaystyle\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\frac{(|O_{ij}-T_{ij}|-0,5)^2}{T_{ij}}$

• $H_0$ : « Il y a indépendance entre les caractères $A$ et $B$ »

•  On conclut au risque $\alpha$ en lisant $\chi^2_0$ dans la table du $\chi^2$ de Pearson (avec comme paramètres $\nu$ et $\alpha$).

•  Si $\chi^2< \chi^2_0$ on ne rejette pas $H_0$ 

•    Sinon on rejette $H_0$.