Calcul scientifique

1) Polynôme. Une fonction polynomiale est une fonction de la forme $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n$.

$a_0,\ldots,a_n$ s'appellent les coefficients du polynôme. Si $a_n$ est non nul, on dit que $f$ est de degré $n$.

Exemples :

$-1+x^3-\sqrt{5}x^{17}$ est un polynôme de degré $17$. 

$2+e^x - x^3+6x^7$ , $-5x^{2/3}+x^4+x^5$ ne sont pas des polynômes. 

2) Identités remarquables: $a$ et $b$ désignent des réels.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Ces égalités s'utilisent dans les deux sens. Le sens de gauche à droite s'appelle un développement. La sens de droite à gauche s'appelle une factorisation. 

3) Factorielle. Soit $n$ un entier naturel. On définit l'entier $n ! =1 \times 2 \times \ldots \times (n-1) \times n$. Par convention, on définit $0! =1$.

$n!$ se lit <<$n$ factorielle>>.

Exemple :

$3! = 6$, $5! = 120$.

Remarque :

On a $n! = (n-1)! \times n$. Donc par exemple $6! = 5! \times 6 = 120 \times 6 = 720$.

4) Coefficients binomiaux. Soit $n$ un entier naturel et soit $k$ un entier tel que $0 \le k \le n$. On définit le coefficient binomial : 

$\displaystyle{\left(
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right) = \frac{n!}{p!(n-p)!}}$.

Si $p>n$, on convient que $\displaystyle{\left(
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right) = 0}$.

Théorème :

$\left(
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right)$ est un entier. 

Exemple :

$\left(
\begin{array}{c}
n \\
0
\end{array}
\right)=1$, $\left(
\begin{array}{c}
n \\
1
\end{array}
\right) = n$, $\left(
\begin{array}{c}
n \\
n
\end{array}
\right) = 1$.

$\displaystyle{\left(
\begin{array}{c}
7 \\
5
\end{array}
\right) = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \times 2!} = \frac{6 \times 7}{ 2}}=21$ car $7! = 5! \times 6 \times 7$. 

Théorème (propriété de symétrie des coefficients binomiaux) :

$\left(
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
n \\
n-p
\end{array}
\right)$.

Théorème (relation de Pascal) :

$\left(
\begin{array}{c}
n \\
p-1
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
n+1 \\
p
\end{array}
\right)$.

La relation de Pascal permet de construire ce qui s'appelle le triangle de Pascal.
A la ligne $n$ et la colonne $p$, on place la valeur du coefficient binomial $\left( 
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right)$.

La première colonne est remplie de $1$ car $\left(
\begin{array}{c}
n \\
0
\end{array}
\right) = 1$ et la diagonale est remplie de $1$ car $\left(
\begin{array}{c}
n \\
n
\end{array}
\right) = 1$.

Au dessus de la diagonale :

C'est-à-dire si $p>n$, les cases sont nulles car par définition $\displaystyle{\left(
\begin{array}{c}
n \\
p
\end{array}
\right) = 0}$.

Pour les autres cases, d'après la relation de Pascal, une case de coordonnées $(n+1,p)$ est somme de la case de coordonnées $(n,p-1)$ et de la case de coordonnées $(n,p)$.

$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
n\backslash p & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
\hline
0 & 1&0 & 0& 0& 0&0\\
\hline
1 &1 &1 &0 & 0& 0&0\\
\hline
2 &1 &2&1& 0&0 &0\\
\hline
3 &1 &3&3&1& 0&0\\
\hline
4 &1 &4&6&4& 1&0\\
\hline
5 &1 &5 &10 &10 & 5&1\\
\hline
\end{array}
$

5) Autres formules de développements/factorisation

Soit $x_1,\ldots,x_n$ des réels. On a $\displaystyle{(x_1+\ldots x_n)^2 = x_1^2+\ldots+x_n^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n}x_ix_j}$.

Exemple :

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 = 2(a+b+c)$. 

Identité géométrique :

$(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2 + \ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})$

Exemple :

Pour $n=2$, on retrouve l’identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Pour $n=3$, $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.