Soit un repère $\mathcal{R}$ d'origine un point $O$ fixe et de base cartésienne $\mathcal{B}=(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})$. Soit un point $M$ de l'espace, alors le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est appelé vecteur position du point $M$ dans ce repère $\mathcal{R}$. Suivant la base de vecteurs adoptée (elle n'est pas toujours cartésienne), ce vecteur peut s'écrire de plusieurs manières.

En base cartésienne

La base est centrée sur le point $O$ qui est fixe, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ s'exprime dans la base cartésienne de cette manière:

\begin{equation*}
\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{x} + y\overrightarrow{y} + z\overrightarrow{z}
\end{equation*}

La figure ci-dessous montre la position du point $M$ dans la base cartésienne:

En base cylindrique

La base est centrée sur le point $M$ mobile, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ s'exprime dans la base cylindrique de cette manière:

\begin{equation*}
\overrightarrow{OM} = r\overrightarrow{u_{r}} + z\overrightarrow{z}
\end{equation*}

La figure ci-dessous montre la position du point $M$ dans la base cylindrique:

En base cylindrique les vecteurs $\overrightarrow{u_{r}}$ et $\overrightarrow{u_{\theta}}$ sont facilement exprimables en fonction de la base fixe:

\begin{equation*}
\overrightarrow{u_{r}} = \cos(\theta)\overrightarrow{x} + \sin(\theta)\overrightarrow{y} ~\text{et}~ \overrightarrow{u_{\theta}} = -\sin(\theta)\overrightarrow{x} + \cos(\theta)\overrightarrow{y}
\end{equation*}

Il est donc facile de dériver ces vecteurs par rapport au temps dans la base fixe.

En base sphérique

La base est centrée sur le point $M$ mobile, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ s'exprime dans la base sphérique de cette manière:

\begin{equation*}
\overrightarrow{OM} = r\overrightarrow{u_{r}}
\end{equation*}

La figure ci-dessous montre la position du point $M$ dans la base cylindrique:

Remarque : Pour obtenir le vecteur vitesse, il suffit de dériver par rapport au temps le vecteur position par rapport à la base fixe $\mathcal{B}=(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})$.

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