Dynamique du point

Lois de Newton

Soit un repère $\mathcal{R}$ d'origine un point $O$ fixe et de base cartésienne $\mathcal{B}=(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z})$. Soit un point $M$ de l'espace de masse $m$, on rappelle que le vecteur $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur position du point $M$ dans ce repère $\mathcal{R}$.

Ce point $M$ subit un ensemble de forces dont la résultante s'écrit $\overrightarrow{R}$. Si le repère $\mathcal{R}$ muni d'un chronomètre (le temps $t$) est un référentiel galiléen, alors les 2 lois suivantes sont vraies:

Principe d'inertie

Si la résultante des forces $\overrightarrow{R}$ qui s'exerce sur $M$ est nulle, alors le point $M$ a un mouvement de translation rectiligne uniforme dans $\mathcal{R}$ (son accélération est nulle), la réciproque est vraie. Autrement dit:

$$\begin{equation*} \overrightarrow{R}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \left. \dfrac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{dt^{2}}\right|_{\mathcal{R}}=\overrightarrow{0} \end{equation*}$$

Principe fondamental de la dynamique

Dans le cas où la résultante des forces $\overrightarrow{R}$ qui s'exerce sur $M$ est NON nulle, alors elle est liée au vecteur accélération du point $M$ noté $\overrightarrow{a}=\left.\dfrac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{dt^{2}}\right|_{\mathcal{R}}$ et à sa masse $m$ par la relation:

$$\begin{equation*} m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{R} \end{equation*}$$

Le principe d'inertie se déduit de cette formule.

Cas de l'étude de plusieurs points matériels

Dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, on peut être amené à étudier le comportement d'un ensemble de points matériels $M_{1},M_{2},...,M_{n}$ assignés des masses respectives $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ et des vecteurs vitesse $\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},...,\overrightarrow{v_{n}}$. On peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à chacun de ces points, ce qui donne $n$ équations vectorielles qui peuvent être sommées pour obtenir:

$$\begin{equation*} \left.\dfrac{d(m_{1}\overrightarrow{v_{1}}+m_{2}\overrightarrow{v_{2}}+...+m_{n}\overrightarrow{v_{n}})}{dt}\right|_{\mathcal{R}} = \overrightarrow{F_{ext}} \end{equation*}$$

Le vecteur $\overrightarrow{F_{ext}}$ est la résultante des efforts extérieurs à ce système de masses ponctuelles. En calculant les coordonnées du centre de gravité $G$ de ce système on peut aussi écrire $m_{1}\overrightarrow{v_{1}}+m_{2}\overrightarrow{v_{2}}+...+m_{n}\overrightarrow{v_{n}}=m\overrightarrow{v_{G}}$ avec $m=m_{1}+...+m_{n}$.