Produit scalaire dans le plan et l'espace

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé ($\mathrm{O}$ ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$ ; $\vec{k}$).

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x’ ; y’ ; z’)$, deux vecteurs de l'espace : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’$ qui est un nombre réel.

Propriétés du produit scalaire 

Pour $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace et un nombre réel $k$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ; $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k \vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.

Norme d’un vecteur

Pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ un vecteur de l'espace :

$\| \overrightarrow u \| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Distance entre deux points 

Pour $\mathrm{A}({x}_{\mathrm{A}} ; {y}_{\mathrm{A}} ; {z}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm{B}({x}_{\mathrm{B}} ; {y}_{\mathrm{B}} ; {z}_{\mathrm{B}})$, deux points de l'espace :

$\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}$
$\mathrm{AB} = \sqrt{{({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})}^2 + {({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})}^2 + {({z}_{\mathrm{B}} - {z}_{\mathrm{A}})}^2}$

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d’un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire

Pour $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x’ ; y’)$ deux vecteurs non nuls du plan :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u} ; \vec{v})$

Si l’un des deux vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Dans un repère orthonormé du plan, on a : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$ qui est un nombre réel.

Formules d’Al-Kashi

Soit $\mathrm{ABC}$ un triangle quelconque.

${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2 - 2\mathrm{AB}\times\mathrm{AC} \cos(\hat{\mathrm{A}})$

${\mathrm{AB}}^2 = {\mathrm{AC}}^2 + {\mathrm{BC}}^2 - 2\mathrm{AC}\times \mathrm{BC} \cos(\hat{\mathrm{C}})$

${\mathrm{AC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{BC}}^2 - 2\mathrm{AB}\times\mathrm{BC} \cos(\hat{\mathrm{B}})$

Norme d’un vecteur

Pour $\vec{u}(x ; y)$ un vecteur du plan, $\Vert \vec{u}\Vert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.