Travail, énergie, puissance

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Travail, énergie, puissance

Travail d'une force

On considère un point matériel $M$ se déplaçant à une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un repère $\mathcal{R}$ . Si ce point matériel $M$ subit une force $\overrightarrow{F}$ susceptible de contribuer à son déplacement, on dit que cette force travaille.

Si $M$ se déplace jusqu'au point $M'$ très proche sous l'effet de la force $\overrightarrow{F}$ , le travail élémentaire de cette force s'écrit:

$\begin{equation*} \delta W(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{MM'} \end{equation*}$

Le vecteur

$\overrightarrow{MM'}$ ayant une norme très petite, si le repère

$\mathcal{R}$ a une origine fixe

$O$ , alors on peut écrire

$\overrightarrow{MM'} = d\overrightarrow{OM}$ . C'est un élément de déplacement.

Finalement si sous l'effet d'une force

$\overrightarrow{F}$ un point

$M$ se déplace d'un point

$A$ à un point

$B$ le travail total de cette force s'écrit comme la somme des travaux relatifs à chaque position de

$M$ entre le point

$A$ et le point

$B$ :

$\begin{equation*} W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \int_{A}^{B} \overrightarrow{F}.d\overrightarrow{OM} \end{equation*}$

Force conservative

Une force conservative

$\overrightarrow{F_{c}}$ est une force dont le travail sur le point

$M$ ne dépend pas du chemin suivi entre le point de départ

$A$ et l'arrivée

$B$ , l'intégrale précédente devient alors pour une force conservative:

$\begin{equation*} W_{AB}(\overrightarrow{F_{c}}) = \overrightarrow{F_{c}}.\overrightarrow{AB} \end{equation*}$

Si

$\overrightarrow{F_{c}}$ est une force conservative on peut définir l'énergie potentielle

$E_{p}$ de la manière suivante:

$\begin{equation*} \delta W(\overrightarrow{F_{c}}) = -dE_{p} \end{equation*}$

Puissance d'une force

On considère toujours un point matériel

$M$ se déplaçant à une vitesse

$\overrightarrow{v}$ dans un repère

$\mathcal{R}$ et subissant une force

$\overrightarrow{F}$ . On définit la puissance instantanée

$P(\overrightarrow{F})$ de la manière suivante:

$\begin{equation*} P(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{v} \end{equation*}$

Théorème de l'énergie cinétique

On se place dans un référentiel galiléen

$\mathcal{R}_{g}$ . Un point matériel

$M$ de masse

$m$ se déplaçant à une vitesse

$\overrightarrow{v}$ possède une énergie cinétique définie par:

$\begin{equation*} E_{c/\mathcal{R}_{g}} = \dfrac{1}{2}m\overrightarrow{v}^{2} \end{equation*}$

Si de surcroît

$M$ subit une résultante des forces

$\overrightarrow{R}$ alors la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique exprimée dans le repère

$\mathcal{R}_{g}$ est égale à la puissance générée par la résultante

$\overrightarrow{R}$ :

$\begin{equation*} \dfrac{dE_{c/\mathcal{R}_{g}}}{dt} = P(\overrightarrow{R}) \end{equation*}$

Théorème de l'énergie mécanique

On se place dans un référentiel galiléen

$\mathcal{R}_{g}$ . Un point matériel

$M$ de masse

$m$ se déplaçant à une vitesse

$\overrightarrow{v}$ possède une énergie mécanique définie par la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique:

$\begin{equation*} E_{m/\mathcal{R}_{g}} = E_{c/\mathcal{R}_{g}} + E_{p/\mathcal{R}_{g}} \end{equation*}$

La variation d'énergie mécanique entre 2 points

$A$ et

$B$ est égale au travail des forces non conservatives

$\overrightarrow{F_{nc}}$ :