Travail d'une force

On considère un point matériel $M$ se déplaçant à une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un repère $\mathcal{R}$. Si ce point matériel $M$ subit une force $\overrightarrow{F}$ susceptible de contribuer à son déplacement, on dit que cette force travaille.

Si $M$ se déplace jusqu'au point $M'$ très proche sous l'effet de la force $\overrightarrow{F}$, le travail élémentaire de cette force s'écrit:

\begin{equation*}
\delta W(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{MM'}
\end{equation*}

Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ ayant une norme très petite, si le repère $\mathcal{R}$ a une origine fixe $O$, alors on peut écrire $\overrightarrow{MM'} = d\overrightarrow{OM}$. C'est un élément de déplacement.

Finalement si sous l'effet d'une force $\overrightarrow{F}$ un point $M$ se déplace d'un point $A$ à un point $B$ le travail total de cette force s'écrit comme la somme des travaux relatifs à chaque position de $M$ entre le point $A$ et le point $B$:

\begin{equation*}
W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \int_{A}^{B} \overrightarrow{F}.d\overrightarrow{OM}
\end{equation*}

Force conservative

Une force conservative $\overrightarrow{F_{c}}$ est une force dont le travail sur le point $M$ ne dépend pas du chemin suivi entre le point de départ $A$ et l'arrivée $B$, l'intégrale précédente devient alors pour une force conservative:

\begin{equation*}
W_{AB}(\overrightarrow{F_{c}}) = \overrightarrow{F_{c}}.\overrightarrow{AB}
\end{equation*}

Si $\overrightarrow{F_{c}}$ est une force conservative on peut définir l'énergie potentielle $E_{p}$ de la manière suivante:

\begin{equation*}
\delta W(\overrightarrow{F_{c}}) = -dE_{p}
\end{equation*}

Puissance d'une force

On considère toujours un point matériel $M$ se déplaçant à une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un repère $\mathcal{R}$ et subissant une force $\overrightarrow{F}$. On définit la puissance instantanée $P(\overrightarrow{F})$ de la manière suivante:

\begin{equation*}
P(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{v}
\end{equation*}

Théorème de l'énergie cinétique

On se place dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}_{g}$. Un point matériel $M$ de masse $m$ se déplaçant à une vitesse $\overrightarrow{v}$ possède une énergie cinétique définie par:

\begin{equation*}
E_{c/\mathcal{R}_{g}} = \dfrac{1}{2}m\overrightarrow{v}^{2}
\end{equation*}

Si de surcroît $M$ subit une résultante des forces $\overrightarrow{R}$ alors la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique exprimée dans le repère $\mathcal{R}_{g}$ est égale à la puissance générée par la résultante $\overrightarrow{R}$:

\begin{equation*}
\dfrac{dE_{c/\mathcal{R}_{g}}}{dt} = P(\overrightarrow{R})
\end{equation*}

Théorème de l'énergie mécanique

On se place dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}_{g}$. Un point matériel $M$ de masse $m$ se déplaçant à une vitesse $\overrightarrow{v}$ possède une énergie mécanique définie par la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique:

\begin{equation*}
E_{m/\mathcal{R}_{g}} = E_{c/\mathcal{R}_{g}} + E_{p/\mathcal{R}_{g}}
\end{equation*}

La variation d'énergie mécanique entre 2 points $A$ et $B$ est égale au travail des forces non conservatives $\overrightarrow{F_{nc}}$:

\begin{equation*}
E_{m/\mathcal{R}_{g}}^{AB} = W_{AB}(\overrightarrow{F_{nc}})
\end{equation*}

Si le point $M$ ne subit que des forces conservatives, son énergie mécanique est constante.